Równanie trygonometryczne

[lolo666]

Mam następujące równanie: \(\displaystyle{ \sin^{3}{x}-4\sin^{2}x-\sin{x}+4 \le 0}\). Następnie wyrazy odpowiednio poukładałem i przekształciłem w następującą nierówność:\(\displaystyle{ (\sin^{2}{x}-1)(\sin x-4) \le 0}\). Miejsca zerowe wynoszą:\(\displaystyle{ \sin{x}=1 \lor \sin{x} = -1}\) Trzeciego równania nie uwzględniam, bo jest sprzeczne (nie ma sinusa równego \(\displaystyle{ 4}\)). Pytanie, czy to tyle, tzn. mam napisać, że \(\displaystyle{ \sin{x} \in \left\langle -1;1\right\rangle}\), traktować jakby \(\displaystyle{ \sin{x} = x}\) i normalna nierówność kwadratowa czy to inaczej się oblicza? Pozdrawiam.

[a4karo]

A zastanow się nad znakiem \(\displaystyle{ \sin x-4}\)

[Dilectus]

Następnie wyrazy odpowiednio poukładałem i przekształciłem w następującą nierówność:\(\displaystyle{ (\sin^{2}{x}-1)(\sinx-4) \le 0}\).

Policz to jeszcze raz, bo się rąbnąłeś.

[lolo666]

Nie za bardzo rozumiem. Nie przyjmie wartości \(\displaystyle{ 0}\), zawsze będzie na minusie.

EDIT. Wynik dobry, tylko pomyliłem się w LaTexie

[Jan Kraszewski]

Skoro rozwiązujesz \(\displaystyle{ (\sin^{2}{x}-1)(\sin x-4) \le 0}\), a wiesz, że \(\displaystyle{ \sin x-4<0}\), to jak uprości się Twoja nierówność?

JK

[lolo666]

Wtedy uprości się do \(\displaystyle{ -(\sin^{2}{x}-1)}\) ?

[Jan Kraszewski]

Wtedy uprości się do \(\displaystyle{ -(\sin^{2}{x}-1)}\) ?

Zastanawiasz się, kiedy iloczyn dwóch czynników jest niedodatni. Wiesz, że drugi z czynników jest zawsze ujemny. W związku z tym iloczyn będzie niedodatni dokładnie wtedy, gdy pierwszy czynnik jest ... (uzupełnij).

JK

[lolo666]

Dobrze, już rozumiem o co chodzi. Więc \(\displaystyle{ \sin^{2}{x} - 1 \ge 0}\). Następnie \(\displaystyle{ \sin{x} \ge 1 \lor \sin{x} \le -1}\). Czyli ostatecznie sprawdzam dla jakich wartości sinus przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1 \lor -1}\)

[Jan Kraszewski]

Tak.

JK