Zbiór wartości
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 26 wrz 2016, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lubili
- Podziękował: 1 raz
Zbiór wartości
Witam, w jaki sposób wyznaczyć zbiór wartości wyrażenia \(\displaystyle{ 4\sin x+3\cos x}\)?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Zbiór wartości
\(\displaystyle{ 4\sin x+3\cos x=5\cdot \left( \frac{4}{5}\sin x+\frac{3}{5}\cos x \right)}\)
Spostrzeżenie: istnieje taki kąt \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0, \frac \pi 2\right)}\), że
\(\displaystyle{ \frac 4 5=\cos \alpha \wedge \frac 3 5=\sin \alpha}\)
Zatem ze wzoru na sinus sumy:
\(\displaystyle{ 4\sin x+3\cos x=5\sin(x+\alpha)}\)
i ponieważ
\(\displaystyle{ -1\le \sin(x+\alpha)\le 1}\) i każda wartość z tego przedziału jest osiągana dla pewnego \(\displaystyle{ x \in \RR}\), więc szukanym zbiorem wartości jest \(\displaystyle{ [-5,5]}\).
Spostrzeżenie: istnieje taki kąt \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0, \frac \pi 2\right)}\), że
\(\displaystyle{ \frac 4 5=\cos \alpha \wedge \frac 3 5=\sin \alpha}\)
Zatem ze wzoru na sinus sumy:
\(\displaystyle{ 4\sin x+3\cos x=5\sin(x+\alpha)}\)
i ponieważ
\(\displaystyle{ -1\le \sin(x+\alpha)\le 1}\) i każda wartość z tego przedziału jest osiągana dla pewnego \(\displaystyle{ x \in \RR}\), więc szukanym zbiorem wartości jest \(\displaystyle{ [-5,5]}\).