Zbiór wartości

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
arges
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 26 wrz 2016, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubili
Podziękował: 1 raz

Zbiór wartości

Post autor: arges »

Witam, w jaki sposób wyznaczyć zbiór wartości wyrażenia \(\displaystyle{ 4\sin x+3\cos x}\)?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Zbiór wartości

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ 4\sin x+3\cos x=5\cdot \left( \frac{4}{5}\sin x+\frac{3}{5}\cos x \right)}\)
Spostrzeżenie: istnieje taki kąt \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0, \frac \pi 2\right)}\), że
\(\displaystyle{ \frac 4 5=\cos \alpha \wedge \frac 3 5=\sin \alpha}\)
Zatem ze wzoru na sinus sumy:
\(\displaystyle{ 4\sin x+3\cos x=5\sin(x+\alpha)}\)
i ponieważ
\(\displaystyle{ -1\le \sin(x+\alpha)\le 1}\) i każda wartość z tego przedziału jest osiągana dla pewnego \(\displaystyle{ x \in \RR}\), więc szukanym zbiorem wartości jest \(\displaystyle{ [-5,5]}\).
ODPOWIEDZ