Sprzeczne rozwiązanie mz, a nierówność trygonometryczna

[ramefn]

\(\displaystyle{ \cos ^{2}x-3\cos x+2<0}\)
Robię zmienną \(\displaystyle{ t}\) gdzie
\(\displaystyle{ t_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ t_{2}=2 //sprzeczne}\)
Więc w takim przypadku, jak wyznaczyć przedział? W odp mam że jest to zbiór pusty, ale nie widzę z czego to wynika. Generalnie, zapomniałem co się robiło z dowolną nierównością, gdy jedno z miejsc zerowych było sprzeczne - prosiłbym o wyjaśnienie

[szw1710]

Mamy więc \(\displaystyle{ (t-1)(t-2)<0}\), skąd \(\displaystyle{ 1<t<2}\). Dlatego \(\displaystyle{ 1<\cos x<2}\), która to nierówność jest ewidentnie sprzeczna.

Najpierw należało więc obrobić trójmian kwadratowy nie przejmując się interpretacją nowej zmiennej \(\displaystyle{ t}\). Potem trzeba było wrócić do starej zmiennej.

[ramefn]

Dobrze, w tym konkretnym przypadku rozumiem że nierówność jest sprzeczna, ale co gdyby dowolna inna nierówność składała się z kilku przedziałów, gdzie tylko w jednym, "domykającym" miejscu zerowym następowałaby sprzeczność?

[szw1710]

Daj przykład. W matematyce jak i w życiu, trudno o jedną jedyną regułę załatwiającą wszystko. Liczy się zdrowy rozsądek. Poza tym lepiej pokazuje się pewne rzeczy na przykładzie. Od razu w teorię niech wchodzą zawodowi matematycy, jak ja. Ale też nie od razu wchodzę starając się zrozumieć zagadnienie na przykładach.

[ramefn]

\(\displaystyle{ x^{2}+1<0}\)
Cała nierówność jest sprzeczna, czy mz się jakoś wyłącza z rozwiązań?

[szw1710]

Ta nierówność jest sprzeczna z oczywistego powodu. Nic więcej nie trzeba robić nad jego podanie.

[a4karo]

OK. Masz taki przykład: \(\displaystyle{ \cos^2x-2\cos x<0}\)

wprowadzany \(\displaystyle{ t=\cos x}\) i dostajemy, że \(\displaystyle{ 0<t<2}\), czyli \(\displaystyle{ 0<\cos x<2}\)

Oczywiście to zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ 0<\cos x\leq 1}\) z oczywistych względów.