Udowodnij niezależność od kąta (poziom matura rozszerzona)

[illwreakyabonez]

"Udowodnij, że wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \cos 2 \alpha +\sin ^{2} \frac{1}{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \frac{1}{2} \alpha}\) nie zależy od wartości zmiennej \(\displaystyle{ \alpha}\)".
Ja robię to tak:
\(\displaystyle{ \cos 2 \alpha +\sin ^{2} \frac{1}{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \frac{1}{2} \alpha \Leftrightarrow \cos 2 \alpha +4\sin ^{2} \alpha \Leftrightarrow \cos 2 \alpha + 4(1-\cos ^{2} \alpha ) \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha + 3\sin ^{2} \alpha}\) i dalej nie potrafię tego rozwinąć. Nie wiem, czy jest to możliwe, aby takie twierdzenie udowodnić (co do zależności od kąta), lub czy ja to robię poprawnie. Proszę o pomoc

[Belf]

Sprawdź dobrze treść zadania, bo przy tym zapisie:

\(\displaystyle{ f \left( 0 \right) \neq f \left( \frac{ \pi }{2} \right)}\), czyli wartośc zależy od kąta.

-- 4 gru 2017, o 15:46 --

To będzie prawdą,jeżeli przed iloczynem zanajdzie się liczba \(\displaystyle{ 8}\)

[illwreakyabonez]

Sprawdź dobrze treść zadania, bo przy tym zapisie:

\(\displaystyle{ f \left( 0 \right) \neq f \left( \frac{ \pi }{2} \right)}\), czyli wartośc zależy od kąta.

Czyli zadanie jest błędne. Dzięki za odpowiedź
To będzie prawdą, jeżeli przed iloczynem znajdzie się liczba \(\displaystyle{ 8}\)