Monotoniczność z definicji

[alabarann]

\(\displaystyle{ 1) f(x)=\sin x+2x \\
2) f(x)=\sin ^2x}\)

Wykazać z definicji, że 1) jest rosnąca, a 2) okresowa.

[a4karo]

Wsk:
1) \(\displaystyle{ |\sin x-\sin y| \leq |x-y|}\)
2) pomyśl

[alabarann]

Mogę prosić o kolejną wskazówkę?

[a4karo]

Jak tylko pokażesz co sama wymyśliłaś

[alabarann]

\(\displaystyle{ x_{1} \le x_{2} \\
f(x_{2})-f(x_{1})=\sin (x_{2})- \sin (x_{1}) + 2(x_{2}-x_{1})}\)

[Zahion]

Wyjdz od \(\displaystyle{ f\left( x_{1} \right) - f\left( x_{2} \right)}\) i zastosuj powyższą wskazówkę, następnie skorzystaj z definicji wartości bezwzględnej i sprawdz czy finalne wyrażenie jest mniejsze od \(\displaystyle{ 0}\) ( a powinno być ).

[alabarann]

\(\displaystyle{ x_1 <x_2 \Rightarrow x_1-x_2 <0 \\
\left| \sin(x_1)-\sin(x_2)\right| \le \left| x_1-x_2\right| \\ \\
f(x_1)-f(x_2)=\sin(x_1)-\sin(x_2)+2(x_1-x_2)}\)

Dla
\(\displaystyle{ \sin(x_1)- \sin (x_2) > 0 : \\
\sin(x_1)-\sin (x_2) \le -(x_1-x_2) \\
\sin(x_1)-\sin(x_2)+2(x_1-x_2) \le -(x_1-x_2)+2(x_1-x_2)=2(x_1-x_2)-(x_1-x_2)=x_1-x_2 < 0}\)

Dla
\(\displaystyle{ \sin(x_1)-\sin(x_2) \le 0 :\\
-(\sin(x_1)-\sin(x_2)) \le -(x_1-x_2) \\
\sin(x_1)-\sin(x_2)+2(x_1-x_2) \ge( x_1-x_2) +2(x_1-x_2)=3(x_1-x_2) <0}\)


Czyli różnica wartości funkcji dla dowolnych \(\displaystyle{ x_1,x_2}\), takich że \(\displaystyle{ x_1<x_2}\) jest ujemna, a więc funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie. Jest ok?

Swoją drogą ciekawa nierówność, jesteś w stanie podać dowód?

[Pakro]

Zastosuj twierdzenie o wartości średniej I skorzystaj z faktu, że \(\displaystyle{ \cos(x) \le 1}\)

[Zahion]

Inaczej :
\(\displaystyle{ f(x_{1}) - f(x_{2}) = \sin x_{1} - \sin x_{2} + 2\left( x_{1} - x_{2} \right) \le \left| \sin x_{1} - \sin x_{2}\right| + 2\left( x_{1} - x_{2} \right) \le \left| x_{1} - x_{2} \right| + 2\left( x_{1} - x_{2} \right) = -\left( x_{1} - x_{2} \right) + 2\left( x_{1} - x_{2} \right) = x_{1} - x_{2} < 0 \Rightarrow f\left( x_{1} \right) < f \left( x_{2} \right)}\)
Pierwsza nierówność to \(\displaystyle{ x \le \left| x \right|}\), druga to wskazówka, druga równość to skorzystanie z definicji wartość bezwzględnej, gdyż \(\displaystyle{ x_{1} - x_{2} < 0}\), ostatnia nierówność tak jak wcześniej napisałem.
Mamy

\(\displaystyle{ \left| \sin a - \sin b\right| = 2\left| \sin \left( \frac{a - b }{2} \right) \cos \left( \frac{a + b}{2} \right)\right| = 2\left| \sin \left( \frac{a - b }{2} \right)\right| \left| \cos \left( \frac{a + b}{2} \right)\right| \le 2 \left| \sin \left( \frac{a - b }{2} \right) \right| \le 2 \left| \left( \frac{a - b}{2} \right)\right| =\left| a - b\right|}\)

\(\displaystyle{ \sin(x_1)-\sin(x_2)+2(x_1-x_2) \ge( x_1-x_2) +2(x_1-x_2)=3(x_1-x_2) <0}\)

Z tych nierówności nic nie wywnioskujemy. Ten przypadek masz rozpatrzony zle.

[alabarann]

\(\displaystyle{ \sin(x_1)-\sin(x_2)+2(x_1-x_2) \ge( x_1-x_2) +2(x_1-x_2)=3(x_1-x_2) <0}\)

Z tych nierówności nic nie wywnioskujemy. Ten przypadek masz rozpatrzony zle.

Masz rację, nierówności mają inny zwrot. Nie mam pomysłu.

[Zahion]

Skoro Twoje założenie to \(\displaystyle{ \sin x_{1} - \sin x_{2} \le 0}\) to jako, że to wartość niedodatnia zachodzi \(\displaystyle{ \sin x_{1} - \sin x_{2} \le - \left( \sin x_{1} - \sin x_{2}\right) \le -\left( x_{1} -x_{2} \right)}\) Wtedy \(\displaystyle{ \left( \sin x_{1} - \sin x_{2}\right) + 2\left( x_{1} - x_{2} \right) \le ... ?}\)
Poza tym krótsze rozwiązanie posty dwa wyżej.

[alabarann]

Ok, ...=\(\displaystyle{ -(x_1-x_2)+2(x_1-x_2)=(x_1-x_2)<0}\)

Co do 2) \(\displaystyle{ f(x)=\sin^2x}\) to robiłam to przekształcając wykres funkcji cosx, ale z definicji to jest:

\(\displaystyle{ f(x)=f(x+T) \\
\sin^2x=\sin^2(x+T)}\)

i należy wyznaczyć \(\displaystyle{ T, T>0}\).
Jakby widzę, że \(\displaystyle{ T= \pi}\) , bo \(\displaystyle{ (\sin(x))^2=(\sin(x+ \pi ))^2}\)

bo \(\displaystyle{ \sin(x+ \pi )=-\sin(x)}\), ale nie potrafię do tego dojść bez zgadywania.

[Zahion]

To nie jest zgadywanie, umiejętność łączenia faktów, zdobytej już wiedzy. To samo będzie dla \(\displaystyle{ T = 2 \pi}\). To pierwsze skojarzenia jakie powinny Nam przyjść na myśl.