Wykaż, że w dowolnym trójkącie ostrokątnym
\(\displaystyle{ \tan +\tan \beta+\tan \gamma=\tan \tan \beta \ tan \gamma}\)
Z góry dzięki za pomoc
Wykaż, że suma tangensów...
-
macioos88lbn
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 23 wrz 2007, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: LBN CITY
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Wykaż, że suma tangensów...
Skorzystamy ze wzorów:
\(\displaystyle{ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\
\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha}\)
Dostajemy:
\(\displaystyle{ L=\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=
\tan(\alpha+\beta)-\tan(\alpha+\beta)\tan\alpha\tan\beta+\tan\gamma= \\ =
-\tan(\alpha+\beta)\tan\alpha\tan\beta+
\tan(\alpha+\beta+\gamma)(1-\tan(\alpha+\beta)\tan\gamma)= \\\ =
-\tan(\alpha+\beta)\tan\alpha\tan\beta+0=\tan\alpha\tan\beta\tan(\pi-(\alpha+\beta))= \\ =
\tan\alpha\cdot\tan\beta\cdot\tan\gamma=P}\)
\(\displaystyle{ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\
\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha}\)
Dostajemy:
\(\displaystyle{ L=\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=
\tan(\alpha+\beta)-\tan(\alpha+\beta)\tan\alpha\tan\beta+\tan\gamma= \\ =
-\tan(\alpha+\beta)\tan\alpha\tan\beta+
\tan(\alpha+\beta+\gamma)(1-\tan(\alpha+\beta)\tan\gamma)= \\\ =
-\tan(\alpha+\beta)\tan\alpha\tan\beta+0=\tan\alpha\tan\beta\tan(\pi-(\alpha+\beta))= \\ =
\tan\alpha\cdot\tan\beta\cdot\tan\gamma=P}\)