Złożenie funkcji

[flashion]

Mam problem ze zrozumieniem rozwiązania do zadania 2a) \(\displaystyle{ \arccos (\sin x)}\):
Link: ... lementarne

Dokładny fragment:

Rozumując jak poprzednio, na mocy wzoru redukcyjnego równość: \(\displaystyle{ \sin x=\cos \bigg(\frac{\pi}{2}-x\bigg)}\). Stąd

\(\displaystyle{ \arccos (\sin x)) \ =\ \arccos \bigg(\cos \bigg(\frac{\pi}{2}-x\bigg)\bigg) \ =\ \frac{\pi}{2}-x}\),

dla \(\displaystyle{ x\in \bigg[0, \frac{\pi}{2}\bigg]}\).

Skąd bierze się to zawężenie \(\displaystyle{ x\in \bigg[0, \frac{\pi}{2}\bigg]}\) ? Dlaczego nie \(\displaystyle{ x\in \bigg[0, \pi\bigg]}\) albo jakieś inne?

Dzięki za pomoc

[Premislav]

Cześć. Mnie się też coś nie zgadza.
Własność \(\displaystyle{ \arccos(\cos t)=t}\) zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ t}\) należy do zbioru wartości funkcji arcus cosinus, tj. \(\displaystyle{ t \in [0,\pi]}\).
Czyli ma być \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}-x \in [0,\pi]}\), a zatem z jednej strony
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}-x\ge 0}\), czyli \(\displaystyle{ x\le \frac \pi 2}\), zaś z drugiej strony
\(\displaystyle{ \frac \pi 2-x \le \pi}\), czyli \(\displaystyle{ x\ge -\frac{\pi}{2}}\),
a więc \(\displaystyle{ x\in\left[ -\frac \pi 2, \frac \pi 2\right]}\)
Może błąd, w 2013 też znalazłem jakiś drobny błąd jak sobie czytałem jakiś kawałek z matematyka dyskretna 2 z wazniaka, więc jakieś małe pomyłki się zdarzają.