Matematyka.pl

W pewnym dowodzie dotarłam do momentu w którym:

\(\displaystyle{ L=\frac{\sin \left( \frac{nx}{2}+x \right) \sin \left( \frac{nx}{2}+ \frac{x}{2} \right) }{\sin \left( \frac{x}{2} \right) }}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{\sin \left( \frac{x}{2}+ \frac{nx}{2} \right) \sin \left( \frac{nx}{2} \right) }{\sin \left( \frac{x}{2} \right) }+\sin \left( nx+x \right)}\)

I muszę pokazać że L=P.

Liczę i liczę ale nie chce mi wyjść

Dla uproszczenia, niech \(\displaystyle{ t=x/2}\) i pomnóżmy obie strony przez \(\displaystyle{ \sin t}\)

\(\displaystyle{ L=\sin ((n+2)t){\red\sin ((n+1)t)}}\)
\(\displaystyle{ P=\sin ((n+1)t)\sin (nt)+\sin t\sin (2(n+1)t)\\\phantom{P}={\red\sin ((n+1)t)}\sin (nt)+2\sin t{\red\sin ((n+1)t)}\cos ((n+1)t)}\)

Teraz obie strony możemy podzielić przez \(\displaystyle{ \sin ((n+1)t)}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ \sin ((n+2)t)=\sin (nt)+2\sin t\cos ((n+1)t)}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sin ((n+2)t)-\sin (nt)=2\sin t\cos ((n+1)t)}\)
Teraz wzór na różnicę sinusów i pewnie wyjdzie

Matematyka.pl

Udowodnić tożsamość trygonometryczną

Udowodnić tożsamość trygonometryczną

Re: Udowodnić tożsamość trygonometryczną