Równości trygonometryczne
-
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 10 paź 2017, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 22 razy
Równości trygonometryczne
Niech \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{8} = x}\). Prawdziwe są następujące zależności:
\(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{8} = x}\)
\(\displaystyle{ \sin \frac{7\pi}{8} = x}\)
\(\displaystyle{ \sin \frac{15\pi}{8} = x}\)
Jak mam się zabrać za to zadanie? Jeżeli mogę prosić to same wskazówki bez rozwiązań na początek.
Próbowałem zamienić \(\displaystyle{ \frac{\pi}{8}}\) na miarę kątową i wtedy porównać ale to chyba nie tędy droga.
\(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{8} = x}\)
\(\displaystyle{ \sin \frac{7\pi}{8} = x}\)
\(\displaystyle{ \sin \frac{15\pi}{8} = x}\)
Jak mam się zabrać za to zadanie? Jeżeli mogę prosić to same wskazówki bez rozwiązań na początek.
Próbowałem zamienić \(\displaystyle{ \frac{\pi}{8}}\) na miarę kątową i wtedy porównać ale to chyba nie tędy droga.
-
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 10 paź 2017, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 22 razy
Re: Równości trygonometryczne
Chyba czas się przyznać... Tak jak potrafię doskonale stosować wzory redukcyjne w mierze kątowej tak w łukowej patrzę i nie wiem co mam robić. Chyba dlatego, że nie wychodziła mi zamiana na kątową to z góry zrezygnowałem z tego zadania.a4karo pisze:Wzory redukcyjne
-
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 10 paź 2017, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 22 razy
Równości trygonometryczne
\(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{18}}\) - Dobrze wyliczyłem podpunkt a?
#edit
Nawet jeżeli podpunkt a policzyłem dobrze tak z drugim mi zupełnie nie wychodzi. Mógłby ktoś pokazać krok po kroku na jakimkolwiek przykładzie jak to robić?
Próbowałem wykorzystać proporcję, że
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} - 90^\circ}\)
\(\displaystyle{ \frac{7\pi}{8} - x}\)
Ale z tego wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{315^\circ}{2}}\)
#edit
Nawet jeżeli podpunkt a policzyłem dobrze tak z drugim mi zupełnie nie wychodzi. Mógłby ktoś pokazać krok po kroku na jakimkolwiek przykładzie jak to robić?
Próbowałem wykorzystać proporcję, że
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} - 90^\circ}\)
\(\displaystyle{ \frac{7\pi}{8} - x}\)
Ale z tego wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{315^\circ}{2}}\)
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Równości trygonometryczne
Nie.lukasz_xyz pisze:\(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{18}}\) - Dobrze wyliczyłem podpunkt a?
\(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{8} =\sin \left( \frac{4\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right) =\sin \left( \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{\pi}{8}}\)
Ale przeliczanie wszystkich kątów na stopnie ma mały sens. Powinieneś zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{8}=\pi-\frac{\pi}{8}}\).lukasz_xyz pisze:Próbowałem wykorzystać proporcję, że
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} - 90^\circ}\)
\(\displaystyle{ \frac{7\pi}{8} - x}\)
Ale z tego wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{315^\circ}{2}}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 10 paź 2017, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 22 razy
Re: Równości trygonometryczne
Wpadłem na jakiś pomysł ale nie wiem czy dobry...
A. \(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{8} = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}) = -\cos\frac{\pi}{8}}\)
Czy teraz jest dobrze?
-- 26 paź 2017, o 19:47 --
A. \(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{8} = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}) = -\cos\frac{\pi}{8}}\)
Czy teraz jest dobrze?
-- 26 paź 2017, o 19:47 --
Nie zauważyłem Pana odpowiedzi, przepraszam. Czy cosinus nie powinien być ujemny? \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{8}}\) to II ćwiartka prawda? A tam cosinus ujemny.Jan Kraszewski pisze:Nie.lukasz_xyz pisze:\(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{18}}\) - Dobrze wyliczyłem podpunkt a?
\(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{8} =\sin \left( \frac{4\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right) =\sin \left( \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{\pi}{8}}\)
Ostatnio zmieniony 26 paź 2017, o 19:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Równości trygonometryczne
Nie.lukasz_xyz pisze:Czy cosinus nie powinien być ujemny?
Ale przecież w drugiej ćwiartce masz sinusa, a nie cosinusa.lukasz_xyz pisze:\(\displaystyle{ \frac{5\pi}{8}}\) to II ćwiartka prawda? A tam cosinus ujemny.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 10 paź 2017, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 22 razy
Re: Równości trygonometryczne
Czyli chcąc ustalić znak mam patrzeć na funkcję początkową i wtedy decydować o znaku funkcji wyjściowej tak?
Ostatnio zmieniony 26 paź 2017, o 19:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 10 paź 2017, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 22 razy
Równości trygonometryczne
To już tylko ostatnie pytanie żeby upewnić się, że na pewno to rozumiem.
Czy dobrze rozwiązałem pozostałe przypadki?
\(\displaystyle{ B: \sin\frac{7\pi}{8} = \sin \left( \frac{4\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{8} \right) = \cos \frac{3\pi}{8} \neq x}\)
\(\displaystyle{ C: \sin\frac{15\pi}{8} = \sin \left( \frac{12\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{3\pi}{8} \right) = \cos \frac{3\pi}{8} \neq x}\)
PS Bardzo dziękuję za wyjaśnienie poprzedniego podpunktu @Jan Kraszewski
Czy dobrze rozwiązałem pozostałe przypadki?
\(\displaystyle{ B: \sin\frac{7\pi}{8} = \sin \left( \frac{4\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{8} \right) = \cos \frac{3\pi}{8} \neq x}\)
\(\displaystyle{ C: \sin\frac{15\pi}{8} = \sin \left( \frac{12\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{3\pi}{8} \right) = \cos \frac{3\pi}{8} \neq x}\)
Faktycznie niepotrzebnie, przepraszamJan Kraszewski pisze:Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?
PS Bardzo dziękuję za wyjaśnienie poprzedniego podpunktu @Jan Kraszewski
Ostatnio zmieniony 26 paź 2017, o 20:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Równości trygonometryczne
Dobrze.lukasz_xyz pisze:\(\displaystyle{ B: \sin\frac{7\pi}{8} = \sin \left( \frac{4\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{8} \right) = \cos \frac{3\pi}{8} \neq x}\)
Źle, sinus w czwartej ćwiartce jest ujemny, więclukasz_xyz pisze:\(\displaystyle{ C: \sin\frac{15\pi}{8} = \sin \left( \frac{12\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{3\pi}{8} \right) = \cos \frac{3\pi}{8} \neq x}\)
\(\displaystyle{ \sin\frac{15\pi}{8}= \red-\black \cos \frac{3\pi}{8}}\).
JK
- kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
Re: Równości trygonometryczne
Trzeba wkuć:
\(\displaystyle{ \ \blue\fbox{\fbox{\ \mbox{w pierwszej wszystkie, w drugiej tylko sinus,\ w trzeciej tangens i cotangens a w czwartej cosinus}\ }}}\)
ta nieśmiertelna rymowanka mówi o tym, w której ćwiartce \(\displaystyle{ 360^o}\) która funkcja jest dodatnia
pierwsza ćwiartka jest wtedy, gdy kąt jest \(\displaystyle{ \ (90^o-\beta)}\)
druga ćwiartka - \(\displaystyle{ \ (90^o+\beta)\ \ \ lub\ \ \ (180^o-\beta)}\)
trzecia - \(\displaystyle{ \ (180^o+\beta)\ \ \ lub\ \ \ (270^o-\beta)}\)
czwarta - \(\displaystyle{ \ (270^o+\beta)\ \ \ lub\ \ \ (0^o-\beta)}\)
przy czym nie ma znaczenia wielkość ani znak samego \(\displaystyle{ \ \beta}\)
to nam mówi jaki znak przyjmie funkcja lub kofunkcja po zredukowaniu kąta \(\displaystyle{ \ 90^o,\ 180^o,\ lub\ 270^o}\)
przy redukowaniu kąta \(\displaystyle{ 90^o}\) lub \(\displaystyle{ 270^o}\) funkcja zmienia się na kofunkcję, tzn. \(\displaystyle{ \sin\ \to\ \cos,\ \ \tg\ \to\ \ctg}\) i odwrotnie
przykład
\(\displaystyle{ \cos(270^o-3241^o)}\)
kąt jest w trzeciej ćwiartce, w której cosinus jest ujemny, czyli będzie znak minus
redukujemy kąt \(\displaystyle{ \ 270^o}\) więc funkcja zmieni się na przeciwną
ostatecznie
\(\displaystyle{ \cos(270^o-3241^o)=-\sin3241^o}\)
\(\displaystyle{ \ \blue\fbox{\fbox{\ \mbox{w pierwszej wszystkie, w drugiej tylko sinus,\ w trzeciej tangens i cotangens a w czwartej cosinus}\ }}}\)
ta nieśmiertelna rymowanka mówi o tym, w której ćwiartce \(\displaystyle{ 360^o}\) która funkcja jest dodatnia
pierwsza ćwiartka jest wtedy, gdy kąt jest \(\displaystyle{ \ (90^o-\beta)}\)
druga ćwiartka - \(\displaystyle{ \ (90^o+\beta)\ \ \ lub\ \ \ (180^o-\beta)}\)
trzecia - \(\displaystyle{ \ (180^o+\beta)\ \ \ lub\ \ \ (270^o-\beta)}\)
czwarta - \(\displaystyle{ \ (270^o+\beta)\ \ \ lub\ \ \ (0^o-\beta)}\)
przy czym nie ma znaczenia wielkość ani znak samego \(\displaystyle{ \ \beta}\)
to nam mówi jaki znak przyjmie funkcja lub kofunkcja po zredukowaniu kąta \(\displaystyle{ \ 90^o,\ 180^o,\ lub\ 270^o}\)
przy redukowaniu kąta \(\displaystyle{ 90^o}\) lub \(\displaystyle{ 270^o}\) funkcja zmienia się na kofunkcję, tzn. \(\displaystyle{ \sin\ \to\ \cos,\ \ \tg\ \to\ \ctg}\) i odwrotnie
przykład
\(\displaystyle{ \cos(270^o-3241^o)}\)
kąt jest w trzeciej ćwiartce, w której cosinus jest ujemny, czyli będzie znak minus
redukujemy kąt \(\displaystyle{ \ 270^o}\) więc funkcja zmieni się na przeciwną
ostatecznie
\(\displaystyle{ \cos(270^o-3241^o)=-\sin3241^o}\)