zbiór wartości funkcji trygonometrycznej

[patrycja9898]

Hejka . Mam następujące polecenie.
Wyznacz zbiór wartości funkcji.
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{(\sin x-\cos x)(\sin x-\cos x)}}\)
No więc robię tak
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{(\sin x-\cos x)(\sin x-\cos x)}= \frac{1}{\sin^{2} x-\cos ^{2}x}=\frac{1}{\sin^{2}x-(1-\sin^{2}x)}= \frac{1}{2\sin^{2}x-1}}\)

\(\displaystyle{ \sin x=t}\)
Czyli mam zbadać \(\displaystyle{ \frac{1}{2t^{2}-1}}\)
Robię tak
\(\displaystyle{ -1 \le t \le 1 \\
0 \le t^{2} \le 1 \\
0 \le 2t^{2} \le 2 \\
-1 \le 2t^{2}-1 \le 1}\)

I tutaj dalej nie wiem jak zrobić. Gdyby były dwie liczby dodatnie to mogłabym obrócić. A co robić w takim przypadku? Proszę o porady.

[AiDi]

A od kiedy taka magia obowiązuje:

\(\displaystyle{ (\sin x-\cos x)(\sin x-\cos x)=\sin^{2} x-\cos ^{2}x}\)

? Chyba, że tam w nawiasie powinien być \(\displaystyle{ +}\).

[patrycja9898]

Przepraszam. Tak, miał być plus. Proszę o poprawienie.

[patrycja9898]

Wyznacz zbiór wartości funkcji.
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)}}\)
No więc robię tak
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)}= \frac{1}{\sin^{2} x-\cos ^{2}x}=\frac{1}{\sin^{2}x-(1-\sin^{2}x)}= \frac{1}{2\sin^{2}x-1}}\)

\(\displaystyle{ \sin x=t}\)
Czyli mam zbadać \(\displaystyle{ \frac{1}{2t^{2}-1}}\)
Robię tak
\(\displaystyle{ -1 \le t \le 1 \\
0 \le t^{2} \le 1 \\
0 \le 2t^{2} \le 2 \\
-1 \le 2t^{2}-1 \le 1}\)

I tutaj dalej nie wiem jak zrobić. Gdyby były dwie liczby dodatnie to mogłabym obrócić. A co robić w takim przypadku? Proszę o porady.

[Jan Kraszewski]

Ja bym zauważył, że

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\sin^{2} x-\cos ^{2}x}=\frac{1}{-\cos2x}.}\)

JK

[Janusz Tracz]

Zauważ że \(\displaystyle{ \sin ^2x-\cos ^2x=-\cos 2x}\) czyli \(\displaystyle{ f=- \frac{1}{\cos 2x}}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ -1\le \cos 2x \le 1}\) to \(\displaystyle{ - frac{1}{cos 2x}in left( - infty ,-1
ight] cap left[1, infty
ight)}\)

[patrycja9898]

Ponieważ \(\displaystyle{ -1\le \cos 2x \le 1}\) to \(\displaystyle{ - frac{1}{cos 2x}in left( - infty ,-1
ight] cap left[1, infty
ight)}\)

Ale właśnie nie wiem skąd to się bierze. Ok mam
\(\displaystyle{ -1 \le \cos 2x \le 1.}\)
Dalej mnożąc przez \(\displaystyle{ (-1)}\)
\(\displaystyle{ 1 \ge -\cos 2x \ge -1}\)
Dlaczego stąd wynika, że \(\displaystyle{ - frac{1}{cos 2x}in left( - infty ,-1
ight] cap left[1, infty
ight)}\). Jakie operacje tutaj zachodzą?

[Janusz Tracz]

Zrobiłem błąd
Powinno być \(\displaystyle{ - frac{1}{cos 2x}in left( - infty ,-1
ight]{
ed{ cup }}left[1, infty
ight)}\).
Bierze się to z rozpatrzenia kilku przypadków.
dla \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) i "odpowiednich" \(\displaystyle{ x}\)
1) mamy \(\displaystyle{ \epsilon<\cos 2x \le 1 \Rightarrow \frac{1}{\epsilon}> \frac{1}{\cos 2x} \ge 1}\)
2) ale mamy też \(\displaystyle{ -1 \le \cos 2x <-\epsilon \Rightarrow -1 \le \frac{1}{\cos 2x}<- \frac{1}{\epsilon}}\).

Teraz ponieważ \(\displaystyle{ \epsilon}\) był dowolny to dajemy \(\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0^{+}}\) co daje wynik.
Można też patrzeć na to jak na "wywinięcie" zbioru \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right]}\) i znalezienie do każdego elementu tego zbioru elementu odwrotnego.

[Jan Kraszewski]

Bierze się to z rozpatrzenia kilku przypadków.

Albo ze znajomości (wykresu) funkcji homograficznej \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}}\).

Jeśli \(\displaystyle{ x\in [-1,1]\setminus\{0\}}\), to \(\displaystyle{ frac{1}{x}in (-infty,-1]cup[1,+infty)}\).

JK