Drodzy
Czy ktoś mógłby mi pomóc w rozwiązaniu tej nierównosci:
\(\displaystyle{ 4 \cdot \sin x \cdot \sin (6x)>1}\)
Cały czas zatrzymuję się przy:
\(\displaystyle{ \cos (5x) - \cos (7x) > \frac{1}{2}}\)
I wracam do punktu wyjścia . Z góry dziękuję za wszelką pomoc
Problematyczna nierówność trygonometryczna
Problematyczna nierówność trygonometryczna
Ostatnio zmieniony 13 paź 2017, o 17:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Problematyczna nierówność trygonometryczna
Jesteś pewna, że to zostało dobrze przepisane? Bo wygląda na zbyt trudne.
Jedyne, co mi przychodzi do głowy, to wyprowadzenie z użyciem liczb zespolonych i wzoru Eulera wzorku na \(\displaystyle{ \sin(6x)}\) (tak by wyrazić to dziadostwo w postaci \(\displaystyle{ f(\sin x, \cos x)}\)), ale otrzymałem w ten sposób
\(\displaystyle{ \sin(6x)=6\sin x\cos^5x-20\sin^3x\cos^3x+6\sin^5 x\cos x}\), co po spojrzeniu jak to się wkomponuje w "Twoją" nierówność nie nastraja zbyt optymistycznie.
-- 13 paź 2017, o 12:43 --
Można wprawdzie pozbyć się sinusa, a to dlatego, że otrzymamy po tych przekształceniach po lewej wszędzie parzyste potęgi \(\displaystyle{ \sin x}\), więc można go wywalić z \(\displaystyle{ \sin^2 x=1-\cos^2 x}\). OK, dostajemy równanie wielomianowe siódmego stopnia (ale wciąż raczej wyglądające na trudne) i interesują nas jego pierwiastki w \(\displaystyle{ [-1,1]}\) (zbiór wartości funkcji cosinus). Nic lepszego niż twierdzenie o pierwiastkach wymiernych mi nie przychodzi do głowy.
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=4+%5Ccdot+sinx+%5Ccdot+sin%286x%29%3E1Jedyne, co mi przychodzi do głowy, to wyprowadzenie z użyciem liczb zespolonych i wzoru Eulera wzorku na \(\displaystyle{ \sin(6x)}\) (tak by wyrazić to dziadostwo w postaci \(\displaystyle{ f(\sin x, \cos x)}\)), ale otrzymałem w ten sposób
\(\displaystyle{ \sin(6x)=6\sin x\cos^5x-20\sin^3x\cos^3x+6\sin^5 x\cos x}\), co po spojrzeniu jak to się wkomponuje w "Twoją" nierówność nie nastraja zbyt optymistycznie.
-- 13 paź 2017, o 12:43 --
Można wprawdzie pozbyć się sinusa, a to dlatego, że otrzymamy po tych przekształceniach po lewej wszędzie parzyste potęgi \(\displaystyle{ \sin x}\), więc można go wywalić z \(\displaystyle{ \sin^2 x=1-\cos^2 x}\). OK, dostajemy równanie wielomianowe siódmego stopnia (ale wciąż raczej wyglądające na trudne) i interesują nas jego pierwiastki w \(\displaystyle{ [-1,1]}\) (zbiór wartości funkcji cosinus). Nic lepszego niż twierdzenie o pierwiastkach wymiernych mi nie przychodzi do głowy.
Problematyczna nierówność trygonometryczna
Premislav, bardzo dziękuję za odpowiedź. Też myślałam o liczbach zespolonych i użyciu wzoru Eulera jednak zadanie zostało zadane na studiach na semestrze "0", to takie wstępne przygotowanie do analizy i algebry, więc użycie zespolonych było by jeszcze niewskazane.
Utwierdziłeś mnie jednak w przekonaniu, że musiało być tutaj coś źle przepisane, dzięki
Utwierdziłeś mnie jednak w przekonaniu, że musiało być tutaj coś źle przepisane, dzięki