Układ z sinusami

[mol_ksiazkowy]

Rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin(x) = \sin(2y) \\ 2\sin(4x+8y) \sin(3x+10y)+ 5\cos(7x+2y)=4 \end{cases}}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ j,k \in \ZZ}\)
1)
\(\displaystyle{ x=2y+k2 \pi \\\
wtedy: \\
2\sin 16y\sin 16y+5\cos 16y=4\\
2\cos^216y-5\cos 16y+2=0\\
16y=\arccos \frac{5- \sqrt{3} }{4} \vee 16y=-\arccos \frac{5- \sqrt{3} }{4}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}y= \frac{1}{16}\arccos \frac{5- \sqrt{3} }{4} +j2 \pi \\ x=\frac{1}{8}\arccos \frac{5- \sqrt{3} }{4} +j4 \pi+k2 \pi \end{cases} \vee \begin{cases}y= \frac{-1}{16}\arccos \frac{5- \sqrt{3} }{4} +j2 \pi \\ x=\frac{-1}{8}\arccos \frac{5- \sqrt{3} }{4} +j4 \pi+k2 \pi \end{cases}}\)
2)
\(\displaystyle{ x=\pi -2y+k2 \pi \\\
wtedy: \\
5\cos (7 \pi -12y)=4\\
-5\cos 12y=4\\
12y=\arccos \frac{-4 }{5} \vee 12y=-\arccos \frac{- 4 }{5}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}y= \frac{1}{12}\arccos \frac{-4 }{5} +j2 \pi \\ x=\frac{1}{6}\arccos \frac{-4 }{5} +j4 \pi+k2 \pi \end{cases} \vee \begin{cases}y= \frac{-1}{12}\arccos \frac{-4 }{5} +j2 \pi \\ x=\frac{-1}{6}\arccos \frac{-4 }{5} +j4 \pi+k2 \pi \end{cases}}\)

Edit:
Oj, zwaliłem równanie kwadratowe w 1). powinno być:
\(\displaystyle{ 16y=\arccos \frac{5- 3 }{4} \vee 16y=-\arccos \frac{5- 3 }{4}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}y= \frac{ \pi }{48}+j2 \pi \\ x=\frac{ \pi }{24} +j4 \pi+k2 \pi \end{cases} \vee \begin{cases}y= \frac{ -\pi }{48} +j2 \pi \\ x=\frac{ -\pi }{24} +j4 \pi+k2 \pi \end{cases}}\)

[Premislav]

Nie wiem, co Wy widzicie w tej trygonometrii, moim zdaniem jest nudna jak diabli (no, chyba że tu chodziło o jakąś interpretację geometryczną).
Z pierwszego równania mamy \(\displaystyle{ x=2y+2k\pi \vee x=\pi-y+2k\pi, \ k \in \ZZ}\).
1) Jeżeli
\(\displaystyle{ x=2y+2k\pi}\), to otrzymujemy
\(\displaystyle{ 4x+8y=16y+8k\pi, \ 3x+10y=16y+6k\pi, \ 7x+2y=16y+14k\pi}\)
i po wstawieniu tego do drugiego równania oraz skorzystaniu z okresowości funkcji sinus i cosinus mamy:
\(\displaystyle{ 2\sin^2(16y)+5\cos(16y)=4}\)
czy też, z jedynki trygonometrycznej, \(\displaystyle{ 2(1-\cos^2(16y))+5\cos(16y)=4}\)
i mamy po podstawieniu \(\displaystyle{ t=\cos(16y)}\) równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ t}\), którego nie będę rozwiązywać, bo to wolne żarty. Wychodzi z tego \(\displaystyle{ \cos(16y)=\frac 1 2}\) przy \(\displaystyle{ x}\) jak wyżej - to zostawiam jako ćwiczenie.
2) Jeżeli
\(\displaystyle{ x=\pi-2y+2k \pi}\), to dostajemy
\(\displaystyle{ 4x+8y=4\pi+8k\pi,\ 3x+10y=3\pi+4y+6k\pi, \ 7x+2y=7\pi-12y+14k\pi}\)
i po podstawieniu tego wszystkiego do drugiego równania otrzymujemy
\(\displaystyle{ -5\cos\left( 12y\right) =4}\)
tj.
\(\displaystyle{ \cos\left( 12y\right)=-\frac 4 5}\)
W ogóle najlepiej całe zadanie zostawić jako łatwe ćwiczenie.
O, jak zwykle mnie ktoś wyprzedził, ale szkoda kasować.

[PoweredDragon]

Jako, że nie mamy otwarcie powiedzianego w jakim to zbiorze, powinniśmy jeszcze rozwiązać drugi przypadek z równania kwadratowego :V

\(\displaystyle{ \cos 16y = 2}\)

//EDIT
Usunąłem nieporozumienie, które, mam nadzieję, zostało objaśnione na PW.