uzasadnij że funkcja = 1

[Trocinek]

\(\displaystyle{ \sqrt{3} \ctg \frac{\pi}{9} - 4\cos \frac{\pi}{9} = 1}\)
Zacząłem tak: \(\displaystyle{ L = \sqrt{3} \ctg \frac{\pi}{9} - 4\cos \frac{\pi}{9} = \ \tg \frac{\pi}{3} \cdot \ctg \frac{\pi}{9} - 4\cos \frac{\pi}{9}}\)
jaki następny krok ? Czwórki nie mogę przecież rozpisać jak \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)

[Premislav]

Łatwiej chyba to wykazać w takiej formie (sprawdź, że jest to równoważne tezie):
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cos\frac \pi 9-4\cos \frac \pi 9 \sin \frac \pi 9-\sin \frac \pi 9=0}\)
I poniżej to uczynię:
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cos\frac \pi 9-4\cos \frac \pi 9 \sin \frac \pi 9-\sin \frac \pi 9=0\\ 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \frac \pi 9-\frac 12 \sin \frac \pi 9\right)-2\sin \frac{2}{9}\pi=0\\ 2\cos\left( \frac \pi 6+\frac \pi 9\right) -2\sin \frac 2 9\pi=0\\ 2\left( \cos\left( \frac{5}{18}\pi\right) -\sin\left( \frac 2 9\pi\right) \right) =0\\ 2\left( \cos\left( \frac{5}{18}\pi\right)-\cos\left( \frac \pi 2-\frac 29 \pi\right) \right) =0}\)
no i już widać…
W pierwszym przejściu użyłem wzoru na sinus podwojonego kąta, w drugim przejściu wzoru na cosinus sumy, zaś potem jeszcze się pojawiło \(\displaystyle{ \sin x=\cos\left( \frac\pi 2-x\right)}\)

[janusz47]

Kod: Zaznacz cały

> sqrt(3)*1/tan(pi/9)-4*cos(pi/9)
[1] 1.0000

Słusznie Sorry muszę sobie kupić lepsze szkła do okularów

[NogaWeza]

Janusz, to Ty źle przepisałeś. Ma być \(\displaystyle{ -4...}\), a nie \(\displaystyle{ +}\).

[karolex123]

Mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \ctg \frac{\pi}{9}-4 \cos \frac{\pi}{9}= \frac{ \sqrt{3}\cos \frac{\pi}{9}-4 \cos \frac{\pi}{9}\sin \frac{\pi}{9} }{\sin \frac{\pi}{9}}= \frac{2 \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{9}-2 \sin \frac{2 \pi}{9}}{\sin \frac{\pi}{9}}= \frac{2 \cdot \frac{\sin \frac{2 \pi}{9}+ \sin \frac{4 \pi}{9}}{2}-2 \sin \frac{2 \pi}{9} }{\sin \frac{\pi}{9}}= \frac{\sin \frac{4 \pi}{9}- \sin \frac{2 \pi}{9}}{\sin \frac{\pi}{9}}= \frac{2 \sin \frac{\pi}{9} \cos \frac{ \pi}{3} }{\sin \frac{\pi}{9}}=2 \cos \frac{ \pi}{3}=1}\)
Korzystałem tutaj m.in. ze wzoru na sinus podwojonego kąta, iloczyn sinusa i cosinusa i na różnicę sinusów.

[Trocinek]

Łatwiej chyba to wykazać w takiej formie (sprawdź, że jest to równoważne tezie):
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cos\frac \pi 9-4\cos \frac \pi 9 \sin \frac \pi 9-\sin \frac \pi 9=0}\)
I poniżej to uczynię:
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cos\frac \pi 9-4\cos \frac \pi 9 \sin \frac \pi 9-\sin \frac \pi 9=0\\ 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \frac \pi 9-\frac 12 \sin \frac \pi 9\right)-2\sin \frac{2}{9}\pi=0\\ 2\cos\left( \frac \pi 6+\frac \pi 9\right) -2\sin \frac 2 9\pi=0\\ 2\left( \cos\left( \frac{5}{18}\pi\right) -\sin\left( \frac 2 9\pi\right) \right) =0\\ 2\left( \cos\left( \frac{5}{18}\pi\right)-\cos\left( \frac \pi 2-\frac 29 \pi\right) \right) =0}\)
no i już widać…
W pierwszym przejściu użyłem wzoru na sinus podwojonego kąta, w drugim przejściu wzoru na cosinus sumy, zaś potem jeszcze się pojawiło \(\displaystyle{ \sin x=\cos\left( \frac\pi 2-x\right)}\)

Premislav rozpisz początek jak możesz dokładniej bo nie mogę załapać

[Premislav]

Ponieważ mamy
\(\displaystyle{ \ctg \frac \pi 9= \frac{\cos \frac \pi 9}{\sin \frac \pi 9}}\), więc mnożąc stronami tezę, czyli równość
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \ctg \frac{\pi}{9} - 4\cos \frac{\pi}{9} = 1}\),
przez \(\displaystyle{ \sin \frac \pi 9}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cos \frac \pi 9-4\sin \frac \pi 9 \cos \frac \pi 9=\sin \frac \pi 9}\)
Przenosimy to wszystko na lewą stronę i mamy równoważną tezie równość
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cos\frac \pi 9-4\cos \frac \pi 9 \sin \frac \pi 9-\sin \frac \pi 9=0}\)
Dalej przekształcałem równoważnie lewą stronę. A skąd wziąć pomysł na te przekształcenia? No z doświadczenia (jak u mnie) lub spostrzegawczości.
\(\displaystyle{ 4\cos \frac \pi 9 \sin \frac \pi 9=2\sin \frac 2 9\pi}\)
jest chyba jasne, jak się zna wzór na sinus podwojonego kąta. Reszta już jest mniej intuicyjna, ale takie życie. Wykorzystałem to, że \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac \pi 6, \ \frac 1 2=\sin \frac \pi 6}\)
i wzorek
\(\displaystyle{ \cos x\cos y-\sin x\sin y=\cos(x+y)}\)

-- 24 wrz 2017, o 17:47 --

A jak nie lubisz przekształcania tezy, to
karolex123 pokazał inny sposób…