równanie z arcusami

[maximum2000]

Niech \(\displaystyle{ 6\arctan (x)+4\arctan (3x)=\pi}\), oblicz \(\displaystyle{ x^2}\).

[PoweredDragon]

Robisz tak; dzielisz na 4 i masz
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} = \frac{3}{2} \arctan (x) + \arctan3x}\)
Obustronnie tangensujesz
\(\displaystyle{ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot \tan\beta}}\)
Dalej już idzie łatwo

[octahedron]

A ile wynosi \(\displaystyle{ \tan\left(\frac{3}{2}\arctan x\right)}\) ?

[Premislav]

Chyba mam rozwiązanie (troszkę inny pomysł, ale idea dość podobna), jednak ładne to nie jest.
Po pierwsze, zauważmy, że musi być \(\displaystyle{ x>0}\).
Skorzystam z następujących własności (dowody tych własności pominę):
1) dla \(\displaystyle{ x>0}\) mamy \(\displaystyle{ \arctan x+\arcctg x=\frac \pi 2}\)
2) mamy \(\displaystyle{ \tg (2\alpha)= \frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}}\) dla odpowiednich \(\displaystyle{ \alpha}\)
(znając wzór na sinus i cosinus sumy, można wyprowadzić wspomniany przez usera PoweredDragon wzór na tangens sumy).
3) dla \(\displaystyle{ x,y>0, \ xy<1}\) mamy
\(\displaystyle{ \arctan x+\arctan y=\arctan\left( \frac{x+y}{1-xy} \right)}\)
Jeszcze przyda się mały komentarz: funkcja tangens jest różnowartościowa w przedziale \(\displaystyle{ \left( -\frac \pi 2; \frac \pi 2\right)}\).

No to do dzieła:
\(\displaystyle{ 6\arctan (x)+4\arctan (3x)=\pi\\3\arctan(x)+2\arctan(3x)=\frac \pi 2\\2\left( \arctan (x)+\arctan(3x)\right)=\frac \pi 2-\arctan(x)\\2\arctan\left( \frac{4x}{1-3x^2} \right) =\arcctg(x)\\
\tg\left(2\arctan\left( \frac{4x}{1-3x^2} \right) \right) =\tg\left( \arcctg (x)\right)\\ \frac{8x}{1-3x^2} \cdot \frac{1}{1-\left( \frac{4x}{1-3x^2}\right)^2 } = \frac{1}{\ctg(\arcctg(x))}\\ \frac{8x(1-3x^2)}{(1-3x^2)^2-16x^2} =\frac 1 x\\ 8x^2(1-3x^2)=(1-3x^2)^2-16x^2}\)
i mamy równanie wielomianowe, tak jak Pan Jezus powiedział.
Interesuje nas wartość \(\displaystyle{ x^2}\), więc podstawiamy \(\displaystyle{ t=x^2}\) i nawalamy równanie kwadratowe (wybieramy dodatnie rozwiązanie).
Równanie kwadratowe wygląda chyba tak:
\(\displaystyle{ 33t^2-30t+1=0}\) (mogłem się walnąć w rachunkach)
i to już zostawiam do policzenia.

-- 19 wrz 2017, o 23:58 --

Dobra, sorry, oba pierwiastki wychodzą chyba dodatnie, to trzeba mądrze ograniczyć, żeby wiedzieć, które rozwiązanie wziąć. Ale znudziło mi się to zadanie, to już zostawiam jako ćwiczenie. Wskazówka:
łatwo widać, że (jedyne z uwagi na to, że \(\displaystyle{ 6\arctg(x)+4\arctan(3x)}\) to funkcja rosnąca) rozwiązanie równania musi być ostro mniejsze niż \(\displaystyle{ \frac {1}{\sqrt{3}}=\tg \frac \pi 6}\).

[octahedron]

Można też skorzystać ze wzorów \(\displaystyle{ \tan(3x)=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}-\arctan(x)=\arctan\frac{1}{x},\,x>0}\) :

\(\displaystyle{ 3\arctan(x)+2\arctan(3x)=\frac{\pi}{2}\\
\arctan\left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)=\frac{\pi}{2}-\arctan\left(\frac{6x}{1-9x^2}\right)\\
\arctan\left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)=\arctan\left(\frac{1-9x^2}{6x}\right)\\
\frac{3x-x^3}{1-3x^2}=\frac{1-9x^2}{6x}\\
6x(3x-x^3)=(1-3x^2)(1-9x^2)\\
33x^4-30x^2+1=0\\}\)