Sinus sinusa

[Falwack]

Witam! Mam do rozwiązania takie zadanie:

\(\displaystyle{ \sin (\sin (x))=1}\)

Mógłby ktoś dopomóc jak dojść do tego, że to równanie nie ma rozwiązań?

Jedyne do czego doszedłem jako takim liczeniem to, że ten \(\displaystyle{ \sin (x)}\) aby był równy \(\displaystyle{ 1}\) musi być równy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), bo dla takiego kąta \(\displaystyle{ \sin (x)=1}\). No ale co dalej? Jak to jakoś rozpisać? Po prostu tak się zwiesiłem, że nie wiem co dalej robić.

Narysowałem sobie wykres tej funkcji w geogebrze i stamtąd wyszło, że to ma 0 rozwiązań, ale nie wiem kompletnie jak to dalej pociągnąć żeby do tego dojść metodą obliczeniową.
W zasadzie wygląda to na dość prosty przykład, ale jakoś no ja nie mogę sobie z nim poradzić.

Ktoś by pomógł i wytłumaczył jak to zrobić?

[PoweredDragon]

Jakie wartości w ogóle może przyjmować funkcja sinus w dziedzinie liczb rzeczywistych? W sensie jaki jest zbiór wartości funkcji sinus?
Poza tym \(\displaystyle{ \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k \pi \vee x = \frac{\pi}{2}+(2k-1) \pi}\)

[Premislav]

Ja bym tu użył szacowania
\(\displaystyle{ |\sin x| \le |x|}\) (dwa razy).

[loitzl9006]

albo wykorzystaj to że \(\displaystyle{ \pi\approx 3.14}\), stąd
\(\displaystyle{ \frac{\pi}2\approx 1.57}\) oraz \(\displaystyle{ 1.57\notin\langle-1,1\rangle}\)

[Falwack]

Ja bym tu użył szacowania
\(\displaystyle{ |\sin x| \le |x|}\) (dwa razy).

Skąd to szacowanie?

albo wykorzystaj to że \(\displaystyle{ \pi\approx 3.14}\), stąd
\(\displaystyle{ \frac{\pi}2\approx 1.57}\) oraz \(\displaystyle{ 1.57\notin\langle-1,1\rangle}\)

No i co dalej?

Niestety dalej mimo waszych rad niezbyt rozumiem jak to obliczyć.

[NogaWeza]

To dość znana nierówność: 424014.htm

[piasek101]

Wiesz (pierwszy post), że jednym z kątów aby sinus był równy jeden jest \(\displaystyle{ 0,5\pi}\)(z pozostałymi będzie podobnie).

Zatem argument pierwszego (zewnętrznego) sinusa tyle powinien wynieść.
Tym argumentem jest (znowu) sinus, którego wartość zawiera się w przedziale \(\displaystyle{ \left <-1;1\right>}\).

Natomiast \(\displaystyle{ 0,5\pi>1}\) (o tym pisano powyżej) - wniosek ?

[loitzl9006]

Może spróbuję łopatologicznie:
Masz równanie \(\displaystyle{ \sin x = \frac{\pi}2}\)
Czyli (dla lepszego zrozumienia): ze względu na \(\displaystyle{ \frac{\pi}2\approx 1.57}\) przyjmijmy że
\(\displaystyle{ \sin x = 1.57}\)
Rozwiązania powyższego to punkty wspólne "wężyka" z wykresem funkcji stałej \(\displaystyle{ y=1.57}\) - ponieważ takich punktów wspólnych nie ma (cała prosta nad "wężykiem") równanie nie ma rozwiązań.