Jak to robić?

[Trudne]

Mam zadanie o treści: Dana jest liczba \(\displaystyle{ \sin \left( \cos \frac{ \pi }{3} \right)}\). Zatem:
A. \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2} < \sin \left( \cos \frac{ \pi }{3} \right) < 1}\)
B. \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} < \sin \left( \cos \frac{ \pi }{3} \right) < \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
C. \(\displaystyle{ \frac{1}{2} < \sin \left( \cos \frac{ \pi }{3} \right) < \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
D. \(\displaystyle{ 0 < \sin \left( \cos \frac{ \pi }{3} \right) < \frac{1}{2}}\)

Wiec tu moje pytanie jak coś takiego obliczyć? Jak w ogóle do tego podejść? Ostatnio mniej więcej ogarnąłem jak obliczyć zbiór wartości sumy dwóch funkcji np sin x + cos x i tu trzeba jakoś do jednej funkcji sprowadzić a w przykładzie powyżej nie mam bladego pojęcia. Z góry dziękuję.

[kmarciniak1]

Zacznijmy od "wnętrza" funkcji.
Ile wynosi \(\displaystyle{ \cos \frac{ \pi}{3}}\)

[Trudne]

No tak to sobie zapisałem jako \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{2}}\) ale nie wiem jak to dalej zrobic z wykresu niby widac jakoby to bylo między \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

[a4karo]

A słyszałeś o nierówności \(\displaystyle{ \sin x<x}\) prawdziwej dla dodatnich \(\displaystyle{ x}\)?

[kmarciniak1]

"Z wykresu niby widać" trzeba jakoś uzasadnić
a4karo podał jedno uzasadnienie

Można też tak:
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}> \frac{1}{2}}\)
a sinus rośnie w pierwszej ćwiartce więc
\(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{6}>\sin \frac{1}{2}}\)