wyznacz zbiór wartości funkcji f(x)

[Trocinek]

\(\displaystyle{ f(x) = \sin x \cdot \ctg x - \cos x \cdot \tg x}\)
\(\displaystyle{ \ctg x}\) rozpisalem jako \(\displaystyle{ \frac{\cos x}{\sin x}}\) i \(\displaystyle{ \tg x =\frac{\sin \ x}{\cos \ x}}\)
\(\displaystyle{ \cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos \left (45 + \alpha \right ) = \sqrt{2}\sin \left (45 - \alpha \right )}\)

co dalej ?

[Premislav]

Na razie jak najbardziej idziesz w dobrą stronę (tylko w ostatniej równości mieszasz \(\displaystyle{ x}\) z jakimś \(\displaystyle{ \alpha}\), ale to szczegół techniczny). Zauważ teraz, że sinus przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\), więc na pewno
\(\displaystyle{ -\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin(45-x)\le \sqrt{2}}\)
przy czym krańcowe wartości są osiągane,
a ponadto sinus jest funkcją ciągłą, więc ma własność Darboux na dowolnym przedziale i stąd zbiorem wartości \(\displaystyle{ \sqrt{2}\sin(45-x)}\) jest \(\displaystyle{ (-\sqrt{2}, \sqrt{2})}\).
Ale to jeszcze nie daje nam odpowiedzi na pytanie z zadania, bo do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\) nie należą punkty
\(\displaystyle{ x=k\cdot 180^{\circ}, \ k \in \ZZ}\) oraz \(\displaystyle{ x=90+k\cdot 180
^{\circ} , k \in \ZZ}\) (bo odpowiednio cotangens i tangens nie jest tam określony; nie lubię zapisu ze stopniami, wolę z radianami, bo domyślną jednostką jest radian).
Oblicz, jakie wartości przyjmuje \(\displaystyle{ \sqrt{2}\sin\left( 45-x\right)}\) w tych punktach (przydatna będzie okresowość). Te wartości oczywiście "odpadają".
Odpowiedź:
zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest \(\displaystyle{ \left[ -\sqrt{2},\sqrt{2}\right] \setminus \left\{ -1,1\right\}}\)

[Dilectus]

Określ dziedzinę funkcji wyjściowej. Teraz popatrz na funkcję

\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{2}\sin\left ( \frac{\pi}{4} - \alpha \right )}\)

narysuj jej wykres i powiedz, jaki ma zbiór wartości.