Sprowadź do postaci iloczynowej wyrażenia

[rafal11555]

a)
\(\displaystyle{ 1-\sin \alpha+\cos \alpha}\);
b)
\(\displaystyle{ 1+\tg \alpha + \frac{1}{\sin \alpha }}\);
c)
\(\displaystyle{ \sin \alpha +\tg \alpha}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ 1-\sin \alpha+\cos \alpha=1\cdot (1-\sin \alpha+\cos \alpha)}\) itd.
Ludzie, którzy układają takie pytania (to nie uwaga do Ciebie, tylko raczej do autorów zbioru zadań), powinni nauczyć się myśleć.

-- 29 sie 2017, o 15:07 --

Ale pewnie chodziło o coś takiego:
\(\displaystyle{ 1-\sin \alpha+\cos \alpha=2\cos^2\left( \frac{\alpha}{2}\right)-\sin \alpha= 2\cos^2\left( \frac{\alpha}{2}\right)-2\sin\left(\frac{ \alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{ \alpha}{2} \right) =\\=2\cos\left( \frac{\alpha}{2}\right)\left( \cos \left( \frac{\alpha}{2}\right)-\sin\left(\frac{ \alpha}{2}\right) \right)}\)
i jeszcze można by dalej z tym \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{\alpha}{2}\right)-\sin\left(\frac{ \alpha}{2}\right)}\) zamieniając to np. na
\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{\alpha}{2}\right)+\cos\left( \frac{\pi}{2}+\frac{\alpha}{2}\right)}\)
i korzystając ze wzoru na sumę cosinusów.

[rafal11555]

To zadanie jest wzięte z podręcznika Matematyka 3 Poziom rozszerzony Henryka Pawłowskiego.
Odpowiedź z tyłu podręcznika do podpunktu a jest \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}\sin \frac{ \pi -2 \alpha }{4}\cos \frac{ \alpha }{2}}\)
Wiem ze trzeba skorzystać z wzorów na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych ale nie mogę wpaść na pomysł co z robić z tą jedynką bo można ją zapisać na wiele sposobów.

[Premislav]

No to ja wyżej napisałem: może zbyt skrótowo. Trochę dokładniej.
Ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i jedynki trygonometrycznej mamy
\(\displaystyle{ \cos\left( 2\cdot \frac{\alpha}{2}\right)=\cos^2\left( \frac{\alpha}{2}\right)-\sin^2\left( \frac{\alpha}{2}\right) =2\cos^2\left( \frac{\alpha}{2}\right)-1}\)
i przekształcając to, dostajemy
\(\displaystyle{ 1+\cos \alpha=2\cos^2\left( \frac{\alpha}{2}\right)}\)
- to był pierwszy krok.

Następnie ze wzoru na sinus podwojonego kąta mamy
\(\displaystyle{ \sin \alpha=2\sin\left( \frac{\alpha}{2}\right)\cos \left( \frac{\alpha}{2}\right)}\)
więc
\(\displaystyle{ 1-\sin \alpha+\cos \alpha=2\cos\left( \frac{\alpha}{2}\right)\left( \cos \left( \frac{\alpha}{2}\right)-\sin\left(\frac{ \alpha}{2}\right) \right)}\)
Teraz w tym nawiasie możesz ze wzorków redukcyjnych zamienić
\(\displaystyle{ -\sin\left(\frac{ \alpha}{2}\right)}\) na \(\displaystyle{ \cos\left(\frac \pi 2+\frac{ \alpha}{2}\right)}\),
potem używasz do tego, co dostaniesz w nawiasie wzoru na sumę cosinusów, który powinieneś znać, i dalej już wychodzi pewnie to co w odpowiedziach.-- 29 sie 2017, o 15:31 --Podpunkty b) i c) nie są raczej trudniejsze

c)
\(\displaystyle{ \sin \alpha +\tg \alpha =\tg \alpha\left( 1+\cos \alpha \right)=\tg \alpha\left( \cos 0+\cos \alpha\right)}\)
i też można ze wzoru na sumę cosinusów, a jak nie chcesz, to jak poprzednio
\(\displaystyle{ 1+\cos \alpha=2\cos^2\left( \frac{\alpha}{2}\right)}\)
co wynika ze wzoru na cosinus podwojonego kąta.

[Takahashi]

\(\displaystyle{ \sin x + \tan x = \frac{\cos (x/2)^3 \sin(x/2) }{\cos x}}\)

Czy to jest proste? Nie wiem.