Tożsamość trygonometryczna

[wolder]

Witam, mam wykazać, że:

\(\displaystyle{ \frac{1-\sin^4\alpha-\cos^4\alpha}{1-\sin^6\alpha-\cos^6\alpha}= \frac{2}{3}}\)

Moje przekształcenia wyglądają następująco:

\(\displaystyle{ L=\frac{1-\sin^4\alpha-\cos^4\alpha}{1-\sin^6\alpha-\cos^6\alpha}= \frac{1-(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha)}{1-(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha}= \frac{1-((\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha)}{1-((\sin^3\alpha+\cos^3\alpha)^2-2\sin^3\alpha\cos^3\alpha)}= \frac{1-(1^2-2\sin^\alpha\cos^2\alpha)}{1-(((\sin\alpha+\cos\alpha)(\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha))^2-2\sin^3\alpha\cos^3\alpha)}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1-(1-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha)}{1-((\sin\alpha+\cos\alpha)^2(1+\sin\alpha\cos\alpha)^2-2\sin^3\alpha\cos^3\alpha)} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{1-((\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha)(1+2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha)-2\sin^3\alpha\cos^3\alpha)}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{1-((1+2\sin\alpha\cos\alpha)(1+2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha)-2\sin^3\alpha\cos^3\alpha)}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{1-(1+2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+4\sin^2\alpha\cos^2\alpha+2\sin^3\alpha\cos^2\alpha-2\sin^3\alpha\cos^3\alpha)}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{1-(1+4\sin\alpha\cos\alpha+5\sin^2\alpha\cos^2\alpha)} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{-4\sin\alpha-5\sin^2\alpha\cos^2\alpha)}= \frac{\sin\alpha\cos\alpha(2\sin\alpha\cos\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha(-4-5\sin\alpha\cos\alpha)}= \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{-4-5\sin\alpha\cos\alpha}}\)

Tutaj się zatrzymałem, ktoś widzi jakiś błąd lub wie co dalej z tym zrobić?

[Benny01]

Mianownik inaczej.
\(\displaystyle{ 1- \sin ^6x - \cos ^6x=1-(( \sin ^2x + \cos ^2x)( \sin ^4x + \cos ^4x - \sin ^2x \cos ^2x))=1-(( \sin ^2x + \cos ^2x)^2- 3 \sin ^2x \cos ^2x)=3 \sin ^2x \cos ^2x}\)

[Zahion]

ktoś widzi jakiś błąd lub wie co dalej z tym zrobić

Na pewno druga linijka i rozkład \(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} = \left( a + b\right)(a^{2} + ab + b^{2} )}\) jest błędny. Powinno być \(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} = \left( a + b\right)(a^{2} - ab + b^{2} )}\)