równania trygonometryczne

[kmarciniak1]

Mam problem z takimi oto przykładami
\(\displaystyle{ \sin x=\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)}\)

\(\displaystyle{ 2\sin ^{2}x+ \sqrt{3}\sin x= \frac{ \sqrt{3} }{2}+\sin x}\)
\(\displaystyle{ \sin2x+\sin ^{2}x= \frac{-1}{2}}\)

W drugim przykładzie próbowałem po prostu podstawić pomocniczą niewiadomą \(\displaystyle{ t}\) jednak delta wychodząca z tego równania zniechęca do takiego podejścia...

Proszę o jakieś wskazówki jak je przekształcić do bardziej elementarnych równań

[Zahion]

W drugim wyciągnij przed nawias z lewej strony \(\displaystyle{ 2 \sin x}\)
Ostatnie wystarczy posegregować odpowiednio, mianowicie zapisać w postaci :
\(\displaystyle{ \sin^{2} +\sin x \cos x + \sin x \cos x + 1/2 = 0}\). Skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \sin x=\cos (x+\frac{\pi}{4})}\)

Narysuj obie funkcje i rozwiązanie odczytaj z wykresu.

\(\displaystyle{ \sin x=\sin (\frac{\pi}{4}-x)\\
\sin x-\sin (\frac{\pi}{4}-x)=0\\
2\sin \frac{x-(\frac{\pi}{4}-x)}{2} \cos \frac{x+(\frac{\pi}{4}-x)}{2}=0}\)

\(\displaystyle{ 2\sin ^{2}x+ \sqrt{3}\sin x= \frac{ \sqrt{3} }{2}+\sin x}\)

Zahion dobrze radzi.

\(\displaystyle{ \sin2x+\sin ^{2}x= \frac{-1}{2}}\)

\(\displaystyle{ 4\sin x \cos x+2\sin^2x=-1\\
(3\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x)=0}\)

[kmarciniak1]

Z drugim sobie poradziłem.

Czy trzecie mogę dokończyć w ten sposób?
\(\displaystyle{ \cos x(3\tg x+1)=0 \vee \cos x(\tg x+1)=0}\)
\(\displaystyle{ \tg x= \frac{-1}{3}}\) odczytuje z tablic i mam \(\displaystyle{ x \approx \frac{-\pi}{10}+k\pi}\)
\(\displaystyle{ \tg x=-1}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{-\pi}{4}+k\pi}\)

A co do pierwszego to skąd mamy równość
\(\displaystyle{ \cos (x+\frac{\pi}{4})=\sin (\frac{\pi}{4}-x)}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ \cos\left( x+\frac \pi 4\right) =\cos\left( -x-\frac \pi 4\right)=\sin\left( -x+\frac \pi 4\right)}\)
Pierwsze przejście z parzystości cosinusa, zaś drugie z faktu, że
\(\displaystyle{ \sin\left( x+\frac \pi 2\right)=\cos x}\)
(można zauważyć, patrząc na wykres lub np. rozpisać ze wzoru na sinus sumy).

[kmarciniak1]

Dziękuję wszystkim za pomoc