Zacięłam się na następującym zadaniu:
Udowodnij, że jeśli kąty trójkąta spełniają warunek:
\(\displaystyle{ \cos \alpha +\cos \beta -\cos ( \alpha + \beta )= \frac{3}{2}}\)
to trójkąt jest równoboczny.
Dodam, że zastosowanie sumy cosinusów tudzież cosinusa sumy nie daje efektu. Również skorzystanie z tego, że \(\displaystyle{ \gamma = 180^\circ-( \alpha + \beta )}\) też mi nic nie daje...
Może ktoś coś podpowie?
Dowód w trygonometrii - liceum
-
energiaspoczynkowa
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 25 lis 2016, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 5 razy
Dowód w trygonometrii - liceum
Ostatnio zmieniony 22 maja 2017, o 19:36 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Dowód w trygonometrii - liceum
Dowód:
Prawdziwy jest następujący ciąg implikacji:
\(\displaystyle{ \cos(\alpha) +\cos(\beta) - \cos(\alpha +\beta) = \frac{3}{2} \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow 2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right)-2\cos^2\left(\frac{\alpha +\beta}{2}\right) + 1 = \frac{3}{2} |:2 \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \cos^2\left(\frac{\alpha +\beta}{2}\right) -\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) + \frac{1}{4}=0 \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \cos^2\left(\frac{\alpha +\beta}{2}\right) -\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) +\frac{1}{4}\cos^2\left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right) - \frac{1}{4}\cos^2\left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right) + \frac{1}{4}=0 \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \left(\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) -\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right)\right)^2 + \frac{1}{4}\left( 1 -\cos^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \right) =0 \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \frac{1}{4}\sin^2\left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right ) + \left(\cos \left (\frac{\alpha+\beta}{2}\right) -\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right)\right)^2 =0 \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \left( \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 0 \wedge \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)-\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right) =0\right) \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \left( \frac{\alpha-\beta}{2} = 0 \wedge \cos\left(\frac{\alpha +\beta}{2}\right)-\frac{1}{2}\cdot 1 = 0\right) \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \left( \alpha = \beta \wedge \cos\left(\frac{\alpha +\beta}{2}\right) = \frac{1}{2}\right)\rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \left( \alpha = \beta \wedge \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \right) \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow ( \alpha = \beta \wedge \alpha = 60^{o}) \rightarrow (\alpha = \beta = 60^{o})}\)
c.b.d.o.
Prawdziwy jest następujący ciąg implikacji:
\(\displaystyle{ \cos(\alpha) +\cos(\beta) - \cos(\alpha +\beta) = \frac{3}{2} \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow 2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right)-2\cos^2\left(\frac{\alpha +\beta}{2}\right) + 1 = \frac{3}{2} |:2 \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \cos^2\left(\frac{\alpha +\beta}{2}\right) -\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) + \frac{1}{4}=0 \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \cos^2\left(\frac{\alpha +\beta}{2}\right) -\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) +\frac{1}{4}\cos^2\left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right) - \frac{1}{4}\cos^2\left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right) + \frac{1}{4}=0 \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \left(\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) -\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right)\right)^2 + \frac{1}{4}\left( 1 -\cos^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \right) =0 \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \frac{1}{4}\sin^2\left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right ) + \left(\cos \left (\frac{\alpha+\beta}{2}\right) -\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right)\right)^2 =0 \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \left( \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 0 \wedge \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)-\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right) =0\right) \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \left( \frac{\alpha-\beta}{2} = 0 \wedge \cos\left(\frac{\alpha +\beta}{2}\right)-\frac{1}{2}\cdot 1 = 0\right) \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \left( \alpha = \beta \wedge \cos\left(\frac{\alpha +\beta}{2}\right) = \frac{1}{2}\right)\rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \left( \alpha = \beta \wedge \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \right) \rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow ( \alpha = \beta \wedge \alpha = 60^{o}) \rightarrow (\alpha = \beta = 60^{o})}\)
c.b.d.o.
Ostatnio zmieniony 23 maja 2017, o 08:35 przez janusz47, łącznie zmieniany 2 razy.
-
Zahion
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Re: Dowód w trygonometrii - liceum
Wezmy \(\displaystyle{ x, y}\) dla uproszczenia zapisu.
Mamy równoważnie
\(\displaystyle{ \cos x + \cos y - \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{1}{2}\left( \sin^{2} x + \sin^{2} y + \cos^{2} x + \cos^{2} y\right) + \frac{1}{2}}\), równoważnie \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( \cos x + \cos y\right) ^{2} + \frac{1}{2}\left( \sin x - \sin y\right)^{2} - \left( \cos x + \cos y\right) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( \cos x + \cos y - 1\right)^{2} + \frac{1}{2}\left( \sin x - \sin y\right)^{2} = 0}\)
O ile nie ma błędu...
Mamy równoważnie
\(\displaystyle{ \cos x + \cos y - \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{1}{2}\left( \sin^{2} x + \sin^{2} y + \cos^{2} x + \cos^{2} y\right) + \frac{1}{2}}\), równoważnie \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( \cos x + \cos y\right) ^{2} + \frac{1}{2}\left( \sin x - \sin y\right)^{2} - \left( \cos x + \cos y\right) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( \cos x + \cos y - 1\right)^{2} + \frac{1}{2}\left( \sin x - \sin y\right)^{2} = 0}\)
O ile nie ma błędu...