Tożsamość trygonometryczna

[Filip46]

Borykam się z takim przykładem :

\(\displaystyle{ \left( \frac{1 - \cos \alpha }{\sin \alpha } \ + \frac{\sin \alpha }{1 - \cos \alpha } \right) \cdot \tg \alpha = \frac{2}{\cos \alpha }}\)

Należy wykazać, iż jest to tożsamość.
Czy po przekształceniu powinno to wyglądać tak :

\(\displaystyle{ \frac{1 - \cos \alpha }{\cos \alpha } + \frac{ \sin ^{2} \alpha }{1 - \cos ^{2} \alpha }}\)

Proszę o sugestie.

[shreder221]

Po pierwsze co to za wyrażenie? lewa strona po przekształceniach prawa a może wynik :p
\(\displaystyle{ \frac{1 - \cos \alpha }{\cos \alpha } + \frac{ \sin ^{2} \alpha }{1 - \cos ^{2} \alpha }}\)
podejrzewam że masz na myśli lewą stronę jeśli tak to mógłbyś napisać jak do tego doszedłeś? Pozwoli mi to stwierdzić czy gdzieś popełniłeś błąd czy też pomoże w powrocie na dobre tory



wskazówki
jakie znasz wzory na tangensa ? może \(\displaystyle{ \frac{\sin}{\cos}}\)? wymnażasz obie strony przez cosinusa wchodzisz sinusem pod nawias a następnie rozwiązujesz jak normalne równanie (ja z lenistwa zamieniłem nawet \(\displaystyle{ \cos}\) i \(\displaystyle{ \sin}\) na c i s :p ) do momentu aż otrzymasz jedynkę

edit// obie wersje są poprawne :p

[Jan Kraszewski]

Czy po przekształceniu powinno to wyglądać tak :

\(\displaystyle{ \frac{1 - \cos \alpha }{\cos \alpha } + \frac{ \sin ^{2} \alpha }{1 - \cos ^{2} \alpha }}\)

Nie. Zresztą wymnażanie przez tangens to najgorsza rzecz, jaką możesz zrobić. Zajmij się najpierw nawiasem i sprowadź te ułamki do wspólnego mianownika.

Czy na pewno w mianowniku lewego ułamka jest cosinus?

Na pewno.

JK

[Filip46]

\(\displaystyle{ L = \left( \frac{1 - \cos \alpha }{\sin \alpha } \ + \frac{\sin \alpha }{1 - \cos \alpha } \right) \cdot \tg \alpha = \left( \frac{1 - \cos \alpha \cdot \sin \alpha }{\sin \alpha \cdot \cos \alpha } \right) + \left( \frac{\sin \alpha \cdot \sin \alpha }{1 - \cos \alpha \cdot \cos \alpha } \right) = \frac{1 - \cos \alpha }{\cos \alpha } + \frac{\sin ^{2} \alpha }{1 - \cos ^{2} \alpha } = \frac{1}{\cos \alpha } - 1 + \frac{\sin ^{2} \alpha }{1 - \cos ^{2} \alpha }}\)

W ten sposób doszedłem do powyżeszego. Czyli aby w prawidłowy sposób udowodnić równość nie powinnienem wymnażać nawias przez tangens ?

[Premislav]

Czyli nie umiesz mnożyć ułamków. Trochę niefajnie, bo takie umiejętności ćwiczy się w szóstej klasie szkoły podstawowej czy pierwszej klasie gimnazjum. Przeważnie
\(\displaystyle{ \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\neq \frac{1-\cos \alpha \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}}\) itd. Nadrób to lepiej, bo będzie bieda.
Mamy \(\displaystyle{ \frac{a+b}{c+d} \cdot \frac{e}{f} = \frac{ae+be}{cf+df}}\) (oczywiście gdy mianowniki są niezerowe), a nie \(\displaystyle{ \frac{a+b}{c+d} \cdot \frac{e}{f} = \frac{a+be}{c+df}}\)


Przedstawię lewą stronę w terminach \(\displaystyle{ \cos \alpha}\):
\(\displaystyle{ L=\left( \frac{1 - \cos \alpha }{\sin \alpha } \ + \frac{\sin \alpha }{1 - \cos \alpha } \right) \cdot \tg \alpha=\left( \frac{1 - \cos \alpha }{\sin \alpha } \ + \frac{\sin \alpha }{1 - \cos \alpha } \right) \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\\= \frac{1}{\cos \alpha}-1+ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha-\cos^2 \alpha}= \frac{1}{\cos \alpha}-1+ \frac{1-\cos^2 \alpha}{\cos \alpha-\cos^2 \alpha}=\\=\frac{1}{\cos \alpha}-1+ \frac{(1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha)}{\cos \alpha(1-\cos \alpha)} =\dots}\)
Dalej sobie poradzisz. Skorzystałem z jedynki trygonometrycznej i wzoru na różnicę kwadratów.-- 12 maja 2017, o 12:31 --

Zresztą wymnażanie przez tangens to najgorsza rzecz, jaką możesz zrobić.

No nie wiem, polemizowałbym. Tak czy siak mamy rozwiązanie podobnej długości.

[PoweredDragon]

Najprostsza metoda to ta podana przez shreder221 w zasadzie. 4 linijki na oko i metody rodem z I liceum, więc łatwe. Spróbuj samemu pomnożyć obustronnie przez cosinusa i uprościć wyrażenia (nie bój się mnożyć przez mianowniki! To równanie jest!)

Rozwiązanie - nie patrz zanim nie spróbujesz:    

\(\displaystyle{ \left( \frac{1 - \cos \alpha }{\sin \alpha } \ + \frac{\sin \alpha }{1 - \cos \alpha } \right) \cdot \tg \alpha = \frac{2}{\cos \alpha }}\)
\(\displaystyle{ 1-\cos \alpha + \frac{\sin^2 \alpha}{1-\cos \alpha} = 2}\)
\(\displaystyle{ 1+1-\sin^2 \alpha - 2 \cos \alpha + \sin^2 \alpha = 2 - 2\cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ 0 = 0}\)
Koniec dowodu szkolnymi metodami?

[Filip46]

Katastrofalna pomyłka ! Dziękuje za zwrócenie uwagi - teraz wszystko jasne.

[anna_]

\(\displaystyle{ \left( \frac{1 - \cos \alpha }{\sin \alpha } \ + \frac{\sin \alpha }{1 - \cos \alpha } \right) \cdot \tg \alpha = \frac{2}{\cos \alpha }}\)

\(\displaystyle{ L=\left( \frac{1 - \cos \alpha }{\sin \alpha } \ + \frac{\sin \alpha }{1 - \cos \alpha } \right) \cdot \tg \alpha =\frac{(1 - \cos \alpha)^2 +\sin^2 \alpha }{\sin\alpha(1 - \cos \alpha )}\cdot \frac{\sin \alpha}{\cos\alpha} =}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-2\cos\alpha+\cos^2\alpha +\sin^2 \alpha }{\cos\alpha(1 - \cos \alpha )} =\frac{1-2\cos\alpha+1}{\cos\alpha(1-\cos \alpha )} =}\)

\(\displaystyle{ \frac{2-2\cos\alpha}{\cos\alpha(1-\cos \alpha )} =\frac{2(1-\cos\alpha)}{\cos\alpha(1-\cos \alpha )} = \frac{2}{\cos \alpha }=P}\)

[Filip46]

Czy takie równanie ma sens ?

\(\displaystyle{ \frac{1 - \sin ^{2}\left( 90 + \alpha \right) }{ \frac{1}{\sin ^{2}\left( 90 + \alpha \right) } - 1 } +\frac{1 - \cos ^{2}\left( 90 + \alpha \right) }{ \frac{1}{\cos ^{2}\left( 90 + \alpha \right) } - 1 } = 1}\)

[Jan Kraszewski]

Ta równość jest prawdziwa, ale czy ma sens? To już nie jest dla mnie takie oczywiste.

JK

[Filip46]

W pewnym zadaniu należało sprawdzić czy równanie jest tożsamością.
Zał.: \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0,90\right) \cup \left( 90,180\right)}\)

\(\displaystyle{ 1 - \cos \alpha = \frac{\tg \alpha - \sin \alpha }{\tg \alpha }}\)

Otrzymałem :

\(\displaystyle{ 1 - \cos \alpha = \sin \alpha - \cos \alpha}\)

Czy to jest poprawnie przekształcone ?

[Jan Kraszewski]

Nie, to nie jest poprawnie przekształcone.

JK