Wyprowadzanie wzorów trygonometrycznych.

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
Richard del Ferro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 190
Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 16 razy

Wyprowadzanie wzorów trygonometrycznych.

Post autor: Richard del Ferro »

RR

Wyprowadzenie paru wzórów za pomocą jednego, "najpiękniejszego".


\(\displaystyle{ e}\)- liczba Eulera.
\(\displaystyle{ i^2=-1}\).

Powołując się na znany wzór \(\displaystyle{ e^{ix}=\cos x+i\sin x}\) i te zależności :

\(\displaystyle{ Z^{2V} = \left( Z^{V} \right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ Z^{2V} = Z^{V-U} \cdot Z^{V+U}}\)

Wyprowadzimy kolejne wzory trygonometryczne.

\(\displaystyle{ e^{ix}\cdote^{iy}=e^{i \left( x+y \right) }}\)

\(\displaystyle{ \left( \cos x+i\sin x \right) \cdot \left( \cos y+i\sin y \right) =\cos \left( x+y \right) +i\sin \left( x+y \right)}\)

\(\displaystyle{ \cos x\cos y +\cos xi\sin y + i\sin x\cos y - \sin x\sin y = \cos \left( x+y \right) +i\sin \left( x+y \right)}\)

\(\displaystyle{ \cos x\cos y-\sin x\sin y +i \left( \sin x\cos y+\cos x\sin y \right) = \cos \left( x+y \right) +i\sin \left( x+y \right)}\)

Porównując częsci rzeczywiste i nierzeczywiste otrzymujemy co dane :

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin \left( x+y \right) =\sin x\cos y+\cos x\sin y \\ \cos \left( x+y \right) =\cos x\cos y-\sin x\sin y \end{cases}}\)


Może teraz coś prostszego

\(\displaystyle{ \left( e^{ix} \right) ^{2}=e^{i2x}}\)

\(\displaystyle{ \left( \cos x+i\sin x \right) ^{2}=\cos 2x+i\sin 2x}\)

\(\displaystyle{ \left( \cos x \right) ^{2}+2i\sin x\cos x- \left( \sin x \right) ^{2}=\cos 2x+i\sin 2x}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin 2x=2\sin x\cos x \\ \cos 2x= \left( \cos x \right) ^{2}- \left( \sin x \right) ^{2} \end{cases}}\)

Ogólnie zauważmy, że

\(\displaystyle{ \left( e^{ix} \right) ^{n}=e^{inx}}\)

Także cała trudność to podniesienie \(\displaystyle{ \left( \cos x+i\sin x \right) ^{n}}\), pamiętając, że \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\), a otrzymamy od razu dwa wzory, na dowolną wielokrotność naturalną cosx oraz sinx.

Wyprowadźmy wzory, sprawiające najwięcej problemów, oraz takie których nawet nie było na lekcjach, a mogą być dość przydatne, a właściwie dojdziemy do układu równań, który jest kluczowym "trickiem" dla dalszych wzorów.

\(\displaystyle{ e^{2ix}=e^{i \left( x-y \right) } \cdot e^{i \left( x+y \right) }}\)

\(\displaystyle{ \cos 2x+i\sin 2x= \left[ \cos \left( x-y \right) +i\sin \left( x-y \right) \right] \cdot \left[ \cos \left( x+y \right) +i\sin \left( x+y \right) \right]}\)

\(\displaystyle{ \cos 2x+i\sin 2x=\cos \left( x-y \right) \cos \left( x+y \right) + \cos \left( x-y \right) i\sin \left( x+y \right) + i\sin \left( x-y \right) \cos \left( x+y \right) - \sin \left( x-y \right) \sin \left( x+y \right)}\)

Stąd ponownie

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos x=\cos \left( \frac{x-y}{2} \right) \cos \left( \frac{x+y}{2} \right) -\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \\ \sin x=\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) +\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \end{cases}}\)

Z autopsji wiem, że dwóch powyższych wzorów nie ma w programie.
Jest to wcześniej wspomniany, bardzo przydatny układ równań.

Mając te dwa wzory, wyprowadźmy wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych.

\(\displaystyle{ \cos x+\cos y=...}\)

Skoro \(\displaystyle{ \cos x=\cos \left( \frac{x-y}{2} \right) \cos \left( \frac{x+y}{2} \right) -\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right)}\)
To możemy zapisać
\(\displaystyle{ \cos y=\cos \left( \frac{y-x}{2} \right) \cos \left( \frac{y+x}{2} \right) -\sin \left( \frac{y+x}{2} \right) \sin \left( \frac{y-x}{2} \right)}\)

Tak, wystarczy zamienić miejscamy argumenty. No to teraz pare sztuczek i dodajemy!

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos x=\cos \left( \frac{x-y}{2} \right) \cos \left( \frac{x+y}{2} \right) -\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \\ \cos y=\cos \left( \frac{y-x}{2} \right) \cos \left( \frac{y+x}{2} \right) -\sin \left( \frac{y+x}{2} \right) \sin \left( \frac{y-x}{2} \right) \end{cases}}\)

Korzystamy z bardzo przydatnych własności tych funkcji, mianowicie \(\displaystyle{ \cos x}\)jest parzysta, a \(\displaystyle{ \sin x}\)nieparzysta.
Zamienialiśmy miejscami x oraz y, więc suma jest niezmienna a tam gdzie była różnica, można powiedzieć, że wprowadziliśmy mnozenie przez \(\displaystyle{ -1}\) a mianowicie \(\displaystyle{ \left( x-y \right) =-1 \left( y-x \right)}\).

... Pozostaje sama matematyczna przyjemność

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos x=\cos \left( \frac{x-y}{2} \right) \cos \left( \frac{x+y}{2} \right) -\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \\ \cos y=\cos \left( \frac{y-x}{2} \right) \cos \left( \frac{y+x}{2} \right) +\sin \left( \frac{y+x}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \cos x+\cos y=2\cos \left( \frac{x-y}{2} \right) \cos \left( \frac{x+y}{2} \right)}\)

Jak już mamy ładny układ równań, wyprowadźmy wzór na różnicę cosinusów.

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos x=\cos \left( \frac{x-y}{2} \right) \cos \left( \frac{x+y}{2} \right) -\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \\ -\cos y=-\cos \left( \frac{y-x}{2} \right) \cos \left( \frac{y+x}{2} \right) -\sin \left( \frac{y+x}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \cos x-\cos y=-2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right)}\)

To pozostała nam różnica i suma funkcji \(\displaystyle{ \sin us}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos x=\cos \left( \frac{x-y}{2} \right) \cos \left( \frac{x+y}{2} \right) -\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \\ \sin x=\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) +\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \end{cases}}\)

Bierzemy samą funkcję \(\displaystyle{ \sin us}\) :
\(\displaystyle{ \sin x=\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) +\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \end{cases}}\)
Znowu zamieniamy miejscamy x,y i otrzymujemy

\(\displaystyle{ \sin y=\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{y-x}{2} \right) +\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{y-x}{2} \right) \end{cases}}\)

Stąd mamy układ równań :

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin x=\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) +\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \\ \sin y=\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{y-x}{2} \right) +\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{y-x}{2} \right) \end{cases}}\)

Ponownie, zamieniamy miejscami argumenty, a tam gdzie \(\displaystyle{ \sin us}\) zmieniamy na ujemny znak

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin x=\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) +\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \\ \sin y=\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) -\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \sin x+\sin y=2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)}\)

Różnica sinusów, stosujemy te samą sztuczkę z układem równań.

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin x=\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) +\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \\ -\sin y=-\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) +\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \sin x-\sin y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right)}\)

Jest to tylko wierzchołek góry lodowej..

Zauważmy, że nie musimy ograniczać się do liczby argumentów równej 2..
Możemy podnieść wszystko do dowolnej potęgi, pomnożyć, dodać, podzielić ile tylko dusza zapragnie

\(\displaystyle{ e^{ix} \cdot e^{iy} \cdot e^{ez}=e^{i \left( x+y+z \right) }}\)

A to wszystko z tego jednego, skromnego

\(\displaystyle{ \Rightarrow e^{ix}=\cos x+i\sin x \Leftarrow}\)


*Wzorem najpiękniejszym zwiemy ten wzór dla \(\displaystyle{ x= \pi}\)
\(\displaystyle{ e^{i \pi }=\cos \pi +i\sin \pi = -1 + i \cdot 0}\)

\(\displaystyle{ e^{i \cdot \pi }+1=0}\)
Ostatnio zmieniony 1 maja 2017, o 15:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Wyprowadzanie wzorów trygonometrycznych.

Post autor: Janusz Tracz »

Fajnie. Można pójść też w lekko inną stronę po wyprowadzeniu

\(\displaystyle{ \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow \sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y}\)

\(\displaystyle{ \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y \ \ \star}\)

Przyjmując we wzorze \(\displaystyle{ \star}\) znienne \(\displaystyle{ y=x}\) dostaniemy jedynkę trygonometryczną.

\(\displaystyle{ 1=\cos0=\cos x \cdot \cos x+\sin x \cdot \sin x}\)

Mając jedynkę trygonometryczną można rozszerzyć \(\displaystyle{ \cos2x=\cos^2x-\sin^2x}\) na

\(\displaystyle{ \cos2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x}\)

A podstawiając do wzoru \(\displaystyle{ -x}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\)

\(\displaystyle{ e^{ix}=\cos x+i\sin x}\)

\(\displaystyle{ e^{-ix}=\cos x-i\sin x}\)

i traktując to jak układ równań można wyliczyć

\(\displaystyle{ \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\)

\(\displaystyle{ \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\)

A takie podejście daje możliwość znajdowania wzorów na \(\displaystyle{ \sin^nx}\) i \(\displaystyle{ \cos^nx}\) jako funkcji \(\displaystyle{ f(\sin kx ,\ \cos px )}\)

Dalsze rozważania, wiadomo że \(\displaystyle{ \sin 2x=2\sin x\cos x}\) wynika to natychmiast z wzory na sinus sumy. Wiadomo też że \(\displaystyle{ 1=\sin^2x+\cos^2x}\) co również zostało udowodnione wcześniej . Więc można zapisać

\(\displaystyle{ \sin 2x= \frac{2\sin x\cos x}{\sin^2x+\cos^2x}= \frac{2 \frac{\sin x}{\cos x} }{1+\left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^2 }= \frac{2\tg x}{1+\tg^2x}}\)

Analogicznie

\(\displaystyle{ \cos 2x= \frac{\cos^2x-\sin^2x}{\sin^2x+\cos^2x}= \frac{1-\tg^2x}{1+tg^2x}}\)

Co swoją droga dało 2 nowe wzory na \(\displaystyle{ \sin 2x}\) i \(\displaystyle{ \cos 2x}\) może zostać przekształcone w bardzo pomocne wzory na \(\displaystyle{ \tg \frac{x}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin x= \frac{2\tg \frac{x}{2} }{1+\tg^2 \frac{x}{2} }}\)

\(\displaystyle{ \cos x=\frac{1-\tg^2 \frac{x}{2} }{1+\tg^2 \frac{x}{2} }}\)
Awatar użytkownika
Richard del Ferro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 190
Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 16 razy

Wyprowadzanie wzorów trygonometrycznych.

Post autor: Richard del Ferro »

O! Super, że ktoś się zainteresował.

A czy mógłbyś pokazać przykład znalezienia rozwinięcia \(\displaystyle{ \sin^{3}x}\)?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Wyprowadzanie wzorów trygonometrycznych.

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ \sin^3 x=(\sin x)^3}\), trololololo.

Tak na serio, to myślę, że user Janusz Tracz miał na myśli przedstawienie
\(\displaystyle{ \sin(nx)}\) i \(\displaystyle{ \cos(nx)}\) itd. a nie \(\displaystyle{ \sin
^n x}\)
. A na to można sobie wyprowadzić wzorki, korzystając, jak już wspominał
Janusz Tracz, ogólne wzorki.
Wychodzimy od wzoru Eulera
\(\displaystyle{ e^{ix}=\cos x+i\sin x}\)
Potęgujemy:
\(\displaystyle{ e^{inx}=\left(\cos x+i\sin x\right)^n}\)
czyli
\(\displaystyle{ \cos (nx)+i\sin(nx)=\left( \cos x+i\sin x\right)^n= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}i^{k}\sin^k x \cos^{n-k}x}\)
ze wzoru dwumianowego Newtona.
Przyrównując części rzeczywiste i urojone obu stron, mamy
\(\displaystyle{ \cos (nx)=\Re e^{inx}=\Re \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}i^{k}\sin^k x \cos^{n-k}x=\\= \sum_{k=0}^{\left[ \frac n 2\right] }(-1)^k\sin^{2k}x \cos^{n-2k} x}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sin (nx)=\Im e^{inx}= \sum_{k=0}^{\left[ \frac {n-1} 2\right]}{n \choose k}(-1)^k \sin^{2k+1}x \cos^{n-2k-1} x}\)

Przykład byłby dla \(\displaystyle{ n=3.}\)

-- 29 kwi 2017, o 18:30 --

A nie, sorry, coś dzisiaj nie umiem czytać.
Przekształcając te powyższe wzory, możemy otrzymać, że
\(\displaystyle{ \sin^3 x= \frac{3}{4} \sin x-\frac 1 4 \sin(3x)}\)

Natomiast ogólnie byłoby o to dużo trudniej, niźli o przedstawienie
\(\displaystyle{ \sin(kx)}\) jako \(\displaystyle{ f(\sin x, \cos x)}\) itd.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Wyprowadzanie wzorów trygonometrycznych.

Post autor: Janusz Tracz »

Chodziło mi o to że na przykład dla \(\displaystyle{ n=3}\) czyli licząc \(\displaystyle{ \sin^3n}\). Korzystamy z wzoru

\(\displaystyle{ \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\)

W taki sposób :
Ukryta treść:    
Ogólniej
Ukryta treść:    

Jeśli jednak chodzi o \(\displaystyle{ \sin nx}\) lub \(\displaystyle{ \cos nx}\). To zaproponują trochę inne podejść niż Premislav,

\(\displaystyle{ \sin nx}\)
Ukryta treść:    
Widać że można to zapętlić i rekurencyjnie "zbijać ilość \(\displaystyle{ n}\)"

Podobnie rozważanie tylko że dla \(\displaystyle{ \cos nx}\) dają jeszcze fajniejszy efekt.
Ukryta treść:    
Więc nowe wzory do kolekcji :

\(\displaystyle{ \sin nx=2\sin x \cdot \cos(n-1)x+\sin(n-2)x}\)

\(\displaystyle{ \cos nx=2\cos x \cdot\cos(n-1)x-\cos(n-2)x}\)

Oznaczając \(\displaystyle{ S_n=\sin nx}\) i \(\displaystyle{ C_n=\cos nx}\) można zapisać układ równań rekurencyjnych

\(\displaystyle{ \begin{cases} S_n=2\sin x \cdot C_{n-1}+S_{n-2} \\ C_n=2\cos x \cdot C_{n-1}-C_{n-2} \end{cases}}\)

Spostrzeżenia do zależności rekurencyjnych :
Rugując z pierwszego równania \(\displaystyle{ C_{n-1}= \frac{S_n-S_{n-2}}{2\sin x}}\) podstawiamy do drugiego dostając zależność na \(\displaystyle{ \sin nx}\) w funkcji \(\displaystyle{ \sin}\).
Ukryta treść:    
Czyli w standardowym zapisie :

\(\displaystyle{ \sin nx=2\cos x \cdot \left[\sin(n-1)x-\sin(n-3)x\right]+\sin(n-4)x}\)


Kolejne spostrzeżenie odnośnie rekurencyjnych zależności, czyli :
Wzory na sumę postaci \(\displaystyle{ \sum_{k}^{n} \sin kx}\) lub \(\displaystyle{ \sum_{k}^{n}\cos kx}\).
Ukryta treść:    

W sumie to cały czas używamy wzoru \(\displaystyle{ e^{ix}=\cos x+i\sin x}\). Więc może warto o jego dowód
Ukryta treść:    
Ukryta treść:    
Pewnie są jeszcze inne dowody, może ktoś coś podeślę albo napiszę.
ODPOWIEDZ