Zbiór wartości funkcji

[murgrabia]

Wyznacz zbiór wartości funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = 2 - 6\sin x\cos x - 3\sin^2x\ + 5\cos^2x}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ f(x) = 2 - 6\sin x\cos x - 3\sin^2x\ + 5\cos^2x=3- 6\sin x\cos x - 4\sin^2x\ + 4\cos^2x=\\=3-3\sin 2x+4\cos 2x=3+5\left( \frac{-3}{5}\sin 2x+ \frac{4}{5} \cos 2x \right)=3+5\sin\left( 2x+ \alpha \right)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{-3}{5} \wedge \sin \alpha = \frac{4}{5}}\)
zbiór wartości:
\(\displaystyle{ f(x ) \in \left\langle -2,8\right\rangle}\)


Taki sam zbiór wartości uzyskasz szukając minimum i maksimum tej funkcji.


PS

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ A\sin x +B\cos x = \sqrt{A^2+B^2}\left( \frac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}}\sin x + \frac{B}{ \sqrt{A^2+B^2}}\cos x \right)= \sqrt{A^2+B^2}\sin\left( x+ \alpha \right)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}}=\cos \alpha \\ \frac{B}{ \sqrt{A^2+B^2}}=\sin \alpha\end{cases}}\)

lub:
\(\displaystyle{ A\sin x +B\cos x = \sqrt{A^2+B^2}\left( \frac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}}\sin x + \frac{B}{ \sqrt{A^2+B^2}}\cos x \right)= \sqrt{A^2+B^2}\cos\left( x- \alpha \right)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}}=\sin \alpha \\ \frac{B}{ \sqrt{A^2+B^2}}=\cos \alpha\end{cases}}\)