Wyznacz zbiór wartości funkcji:

[damianb543]

Wyznacz zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) =2+ \sin \left( 2x+ \frac{ \pi }{6} \right) +\cos 2x}\)
Zrobiłem tak rozpisałem \(\displaystyle{ \sin \left( 2x+ \frac{ \pi }{6} \right) = \frac{ \sqrt{3} }{2}\sin 2 x + \frac{1}{2}\cos 2x}\)

Po dodaniu i zamienieniu \(\displaystyle{ \cos 2x}\) na \(\displaystyle{ 1-2\sin ^{2} 2x}\) i podstawieniu \(\displaystyle{ t}\) za \(\displaystyle{ \sin 2x}\) dostałem:

\(\displaystyle{ -3t ^{2}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}t+ \frac{7}{2}=0}\)

I co tutaj jest źle?

[Premislav]

dostałem:

\(\displaystyle{ -3t ^{2}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}t+ \frac{7}{2}=0}\)

Jak z funkcji robisz równanie??

Ja bym zrobił tak: \(\displaystyle{ \cos 2x=\sin\left( \frac \pi 2-2x\right)}\) i wzór na sumę sinusów.

[damianb543]

dostałem:

\(\displaystyle{ -3t ^{2}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}t+ \frac{7}{2}=0}\)

Jak z funkcji robisz równanie??

Ja bym zrobił tak: \(\displaystyle{ \cos 2x=\sin\left( \frac \pi 2-2x\right)}\) i wzór na sumę sinusów.

Dobra, ale znalazłbym wartosci w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle -1,1\right\rangle}\) tylko czy wszystko dobrze tutaj jest?

[Premislav]

Niestety, równość
\(\displaystyle{ \cos 2x=1-2\sin^2 2x}\) jest nieprawdziwa. Mamy \(\displaystyle{ \cos 2x=1-2\sin^2 x}\)

[kerajs]

Wyznacz zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)=2+ \sin (2x+ \frac{ \pi }{6})+\cos 2x}\)
Zrobiłem tak rozpisałem \(\displaystyle{ \sin (2x+ \frac{ \pi }{6})= \frac{ \sqrt{3} }{2}\sin 2 x + \frac{1}{2}\cos 2x}\)

A mogłeś to pociągnąć dalej:
\(\displaystyle{ f(x)=2+ \sin (2x+ \frac{ \pi }{6})+\cos 2x=2+\frac{ \sqrt{3} }{2}\sin 2 x + \frac{1}{2}\cos 2x+\cos 2x=}\)
\(\displaystyle{ =2+\frac{ \sqrt{3} }{2}\sin 2 x + \frac{3}{2}\cos 2x=2+ \sqrt{3}\left(
\frac{ 1}{2}\sin 2 x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x\right)=2+ \sqrt{3}\sin (2x+ \frac{ \pi }{3})}\)

I wskazanie zbioru wartości jest formalnością.