Wyznacz najmniejszą wartość funkcji.

[werix7]

Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \left( 1+ \frac{1}{ \sin ^{2}x } \right) \left( 1+ \frac{1}{ \cos ^{2}x } \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x \neq \frac{ \pi \cdot k}{2}, k \in C}\).

[kerajs]

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \left( 1+ \frac{1}{ \sin ^{2}x } \right) \left( 1+ \frac{1}{ \cos ^{2}x } \right)= \frac{\left( \sin ^{2}x +1\right) \left( \cos ^{2}x +1\right) }{\sin ^{2}x \cos ^{2}x } = \\=\frac{\sin ^{2}x \cos ^{2}x+2}{\sin ^{2}x \cos ^{2}x} =1+ \frac{2}{\sin ^{2}x \cos ^{2}x} =
1+ \frac{8}{\sin ^{2}2x }}\)

Pewnie z tej postaci bez problemu określisz najmniejszą wartość \(\displaystyle{ f(x)}\)

[Premislav]

Rozwiązanie "sprytne":
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{ \sin ^{2}x } \right) \left( 1+ \frac{1}{ \cos ^{2}x } \right)
=\left( 1+1+\ctg^2 x\right)\left( 1+1+\tg^2 x\right)=\\= \left( 1^2+1^2+\ctg^2 x\right)\left( 1^2+1^2+\tg^2 x\right) \ge \\ \ge \left(1\cdot 1+1\cdot 1 +\ctg x \cdot \tg x \right)^2=9}\)
przy czym ostatnia nierówność wynika z nierówności Cauchy'ego-Schwarza.
Równość zachodzi np. dla \(\displaystyle{ x=\frac \pi 4}\).