Problem w zadaniu

[inusia146]

Witam, mam problem z następującym zadaniem:
\(\displaystyle{ \hbox{Udowodnij, że jeżeli} \ \alpha \in \left( 0^\circ,180^\circ \right) \ oraz \ \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{3}{2}, \ to \ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{5}{8}}\).

Uważam, że w zadaniu jest błąd. Jeśli się mylę, proszę o pomoc w rozwiązaniu.
Ja robię tak:
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{3}{2} - \cos \alpha/^2 \\
\left( \frac{3}{2} - \cos \alpha \right) ^2 + \cos ^2 \alpha = 1 \\
\frac{9}{4} - 3\cos \alpha + 2\cos ^2 \alpha = 1 \\
9- 12 \cos \alpha + 8 \cos ^2 \alpha = 4 \\
5 - 12 \cos \alpha + 8 \cos ^2 \alpha = 0 \\
\Delta = 144-160=-16 <0}\)
Zatem nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych. Nawet przyglądając się wykresom sinusa i cosinusa na zadanym przedziale, nie wydaje mi się, żeby ich suma mogła przyjąć wartość \(\displaystyle{ \ \frac{3}{2}}\).
Czy w zadaniu faktycznie jest błąd?

[kmarciniak1]

Korzystając z tego, że obie strony są dodatnie możemy podnieść do kwadratu równanie:
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +\cos ^{2} \alpha = \frac{9}{4}}\)

Teraz tylko krok do tezy

[inusia146]

kmarciniak1, Wielkie dzięki!
Ale dlaczego to nie wychodzi z jedynki trygonometrycznej?

[Zahion]

Myśl przewodnia w rozwiązaniu była taka, aby podnieść daną równość do kwadratu i wykorzystać jedynkę trygonometryczna.

Rzeczywiście nie istnieje taka liczba \(\displaystyle{ \alpha}\), stąd mamy błąd w zadaniu.
Największą wartościa jaką może przyjąć wyrażenie \(\displaystyle{ \sin x + \cos x}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).

[inusia146]

Zahion, Dziękuję bardzo.

[a4karo]

W zadaniu nie ma błędu. Nigdzie nie jest powiedziane, że ma istnieć takie \(\displaystyle{ \alpha}\) żeby było spełnione założenie.

łatwo zauważyć, że teza zadania jest fałszywa dla każdego \(\displaystyle{ \alpha}\), bo \(\displaystyle{ \sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sin 2\alpha}{2}\neq \frac{5}{8}}\)

[inusia146]

a4karo, no ale jeżeli jest podany przedział, to chyba raczej powinno istnieć. Inaczej to trochę tak, jakby zrobić zadanie, w którym wyjdzie ujemna długość boku, bo nikt nie powiedział, że ma być dodatnia.

[a4karo]

Jak Ci wyjdzie ujemna długość boku, to otrzymasz sprzeczność z sensem fizycznym zadania (albo potwierdzenie tego, że zadanie w rzeczywistości fizycznej nie ma rozwiązania).

Natomiast fakt, że nie istnieje liczba spełniająca założenia nie stanowi o jego błędności. Uwielbiamy słuchać tekstów w rodzaju "za siedmioma górami, za siedmioma rzekami..." choć doskonale wiemy, że żadnego smoka tam nie było