Nierówność tryg.

tomczak13 · Post autor: **tomczak13** » 16 wrz 2007, o 18:33

Ostatnio mi cos nie idzie ta matma, wyszedłem z wprawy

\(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{4}* \sin x\leqslant \cos^{2}x}\)

Może i banał, ale tematów tak nie nazywamy. Lorek

Lider_M · Post autor: **Lider_M** » 16 wrz 2007, o 18:38

Zamień \(\displaystyle{ \cos^2x=1-\sin^2x}\), podstaw \(\displaystyle{ t=\sin x}\) i rozwiąż nierówność kwadratową.

tomczak13 · Post autor: **tomczak13** » 16 wrz 2007, o 18:42

tylko że t wychodzi wtedy \(\displaystyle{ \frac{2-3\sqrt{2}} {4}}\)

Lider_M · Post autor: **Lider_M** » 16 wrz 2007, o 18:51

Coś źle, po tym podstawieniu mamy, że:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}t\leq 1-t^2}\)
\(\displaystyle{ 2t^2+\sqrt{2}t-2\leq 0}\)
Delta wychodzi: \(\displaystyle{ \Delta=18}\), skąd:
\(\displaystyle{ t=\frac{\pm 3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{4}}\), czyli:
\(\displaystyle{ t=\frac{\sqrt{2}}{2}\vee t=-\sqrt{2}}\), więc:
\(\displaystyle{ -\sqrt{2}\leq t\leq\frac{\sqrt{2}}{2}}\), więc:
\(\displaystyle{ -\sqrt{2}\leq \sin x\leq\frac{\sqrt{2}}{2}}\), ale ponieważ najmniejszą wartością sinusa jest -1, wystarczy teraz rozwiązać jedynie nierówność \(\displaystyle{ \sin x\leq\frac{\sqrt{2}}{2}}\)