Zbiór wartości funkcji cyklometrycznej

[Hawek]

Witam.

Poszukuję najprostszego sposobu na wyznaczenie zbioru wartości funkcji cyklometrycznych takich jak w tych przykładach:

a) \(\displaystyle{ \arccos (x^{2} +0.5)}\)
b) \(\displaystyle{ \arctan (x^{2} +1)}\)

Moim pierwszym pomysłem było wyprowadzenie funkcji odwrotnej i policzenie jej dziedziny, jednak był to sposób zbyt czasochłonny.
Rozumiem, że muszę rozwiązać nierówność np. w a) \(\displaystyle{ 0<\arccos (x^{2} +0.5)< \pi}\), ale nie wiem jakim sposobem.

[kerajs]

Rosnące funkcje cyklometryczne to:
\(\displaystyle{ \arcsin x}\), którego zbiór wartości to: \(\displaystyle{ \arcsin x \in \left\langle \frac{- \pi }{2}; \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \arctg x \ ,}\) którego zbiór wartości to: \(\displaystyle{ \arctg x \in \left( \frac{- \pi }{2}; \frac{ \pi }{2}\right)}\)
Dlatego:
\(\displaystyle{ \arctan (1) \le \arctan (x^{2} +1)< \frac{ \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} \le \arctan (x^{2} +1)< \frac{ \pi }{2}}\)



Malejące funkcje cyklometryczne to:
\(\displaystyle{ \arccos x}\), którego zbiór wartości to: \(\displaystyle{ \arccos x \in \left\langle 0; \pi \right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \arcctg x \ ,}\) którego zbiór wartości to: \(\displaystyle{ \arcctg x \in \left( 0; \pi\right)}\)
Dlatego:
\(\displaystyle{ \arccos ( 0,5) \ge \arccos (x^{2} +0,5) \ge 0 \ \ \ \ \ \ \wedge x^2+0,5 \le 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3} \ge \arccos (x^{2} +0,5) \ge 0}\)

[Hawek]

Bardzo dziękuję za te rozwiązania, teraz rozumiem do czego muszę doprowadzić.
Rozumiem że używamy np \(\displaystyle{ \arctan (1)}\) ponieważ jesteśmy pewni że \(\displaystyle{ \arctan (1)}\) jest mniejsze lub równe od naszego szukanego \(\displaystyle{ \arctan (x^2+1)}\),
Co jednak w przypadku, gdy mam określić zbiór wartości np.
\(\displaystyle{ \arcsin ( -\sqrt{x} )}\)?

Dlaczego w podanych przykładach jako jedną ze skrajnych przedziału zbioru wartości funkcji przyjęto \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) i \(\displaystyle{ 0}\)?
Sposób rozwiązania rozumiem, ale nie wiem dlaczego przyjmujemy te wybrane skrajne wartości.

@edit... Znalazłem odpowiedź, te skrajne wartości to po prostu skrajne wartości przeciwdziedziny wewnętrznej analizowanej funkcji.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \arcsin (-1) \le \arcsin (- \sqrt{x} ) \le \arcsin 0 \ \ \ \ \wedge x \in \left\langle 0,1\right\rangle \\
\frac{- \pi }{2} \le \arcsin (- \sqrt{x} ) \le 0}\)