Witam.
Poszukuję najprostszego sposobu na wyznaczenie zbioru wartości funkcji cyklometrycznych takich jak w tych przykładach:
a) \(\displaystyle{ \arccos (x^{2} +0.5)}\)
b) \(\displaystyle{ \arctan (x^{2} +1)}\)
Moim pierwszym pomysłem było wyprowadzenie funkcji odwrotnej i policzenie jej dziedziny, jednak był to sposób zbyt czasochłonny.
Rozumiem, że muszę rozwiązać nierówność np. w a) \(\displaystyle{ 0<\arccos (x^{2} +0.5)< \pi}\), ale nie wiem jakim sposobem.
Zbiór wartości funkcji cyklometrycznej
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 21 mar 2017, o 23:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
Zbiór wartości funkcji cyklometrycznej
Ostatnio zmieniony 22 mar 2017, o 00:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Zbiór wartości funkcji cyklometrycznej
Rosnące funkcje cyklometryczne to:
\(\displaystyle{ \arcsin x}\), którego zbiór wartości to: \(\displaystyle{ \arcsin x \in \left\langle \frac{- \pi }{2}; \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \arctg x \ ,}\) którego zbiór wartości to: \(\displaystyle{ \arctg x \in \left( \frac{- \pi }{2}; \frac{ \pi }{2}\right)}\)
Dlatego:
\(\displaystyle{ \arctan (1) \le \arctan (x^{2} +1)< \frac{ \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} \le \arctan (x^{2} +1)< \frac{ \pi }{2}}\)
Malejące funkcje cyklometryczne to:
\(\displaystyle{ \arccos x}\), którego zbiór wartości to: \(\displaystyle{ \arccos x \in \left\langle 0; \pi \right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \arcctg x \ ,}\) którego zbiór wartości to: \(\displaystyle{ \arcctg x \in \left( 0; \pi\right)}\)
Dlatego:
\(\displaystyle{ \arccos ( 0,5) \ge \arccos (x^{2} +0,5) \ge 0 \ \ \ \ \ \ \wedge x^2+0,5 \le 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3} \ge \arccos (x^{2} +0,5) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \arcsin x}\), którego zbiór wartości to: \(\displaystyle{ \arcsin x \in \left\langle \frac{- \pi }{2}; \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \arctg x \ ,}\) którego zbiór wartości to: \(\displaystyle{ \arctg x \in \left( \frac{- \pi }{2}; \frac{ \pi }{2}\right)}\)
Dlatego:
\(\displaystyle{ \arctan (1) \le \arctan (x^{2} +1)< \frac{ \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} \le \arctan (x^{2} +1)< \frac{ \pi }{2}}\)
Malejące funkcje cyklometryczne to:
\(\displaystyle{ \arccos x}\), którego zbiór wartości to: \(\displaystyle{ \arccos x \in \left\langle 0; \pi \right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \arcctg x \ ,}\) którego zbiór wartości to: \(\displaystyle{ \arcctg x \in \left( 0; \pi\right)}\)
Dlatego:
\(\displaystyle{ \arccos ( 0,5) \ge \arccos (x^{2} +0,5) \ge 0 \ \ \ \ \ \ \wedge x^2+0,5 \le 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3} \ge \arccos (x^{2} +0,5) \ge 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 21 mar 2017, o 23:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
Zbiór wartości funkcji cyklometrycznej
Bardzo dziękuję za te rozwiązania, teraz rozumiem do czego muszę doprowadzić.
Rozumiem że używamy np \(\displaystyle{ \arctan (1)}\) ponieważ jesteśmy pewni że \(\displaystyle{ \arctan (1)}\) jest mniejsze lub równe od naszego szukanego \(\displaystyle{ \arctan (x^2+1)}\),
Co jednak w przypadku, gdy mam określić zbiór wartości np.
\(\displaystyle{ \arcsin ( -\sqrt{x} )}\)?
Dlaczego w podanych przykładach jako jedną ze skrajnych przedziału zbioru wartości funkcji przyjęto \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) i \(\displaystyle{ 0}\)?
Sposób rozwiązania rozumiem, ale nie wiem dlaczego przyjmujemy te wybrane skrajne wartości.
@edit... Znalazłem odpowiedź, te skrajne wartości to po prostu skrajne wartości przeciwdziedziny wewnętrznej analizowanej funkcji.
Rozumiem że używamy np \(\displaystyle{ \arctan (1)}\) ponieważ jesteśmy pewni że \(\displaystyle{ \arctan (1)}\) jest mniejsze lub równe od naszego szukanego \(\displaystyle{ \arctan (x^2+1)}\),
Co jednak w przypadku, gdy mam określić zbiór wartości np.
\(\displaystyle{ \arcsin ( -\sqrt{x} )}\)?
Dlaczego w podanych przykładach jako jedną ze skrajnych przedziału zbioru wartości funkcji przyjęto \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) i \(\displaystyle{ 0}\)?
Sposób rozwiązania rozumiem, ale nie wiem dlaczego przyjmujemy te wybrane skrajne wartości.
@edit... Znalazłem odpowiedź, te skrajne wartości to po prostu skrajne wartości przeciwdziedziny wewnętrznej analizowanej funkcji.
Ostatnio zmieniony 22 mar 2017, o 17:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Zbiór wartości funkcji cyklometrycznej
\(\displaystyle{ \arcsin (-1) \le \arcsin (- \sqrt{x} ) \le \arcsin 0 \ \ \ \ \wedge x \in \left\langle 0,1\right\rangle \\
\frac{- \pi }{2} \le \arcsin (- \sqrt{x} ) \le 0}\)
\frac{- \pi }{2} \le \arcsin (- \sqrt{x} ) \le 0}\)