Nierówność kwadratowa trygonometryczna

[Scrub]

Zadanie:
\(\displaystyle{ 4\sin^2x + 5\sin x > -2 \cos^2x}\)
Po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ 2\sin^2 x + 5 \sin x +2 > 0}\)

Pierwiastki które z tego wychodzą: \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\). Ten pierwszy nie należy do dziedziny, jak dokończyć zadanie?

[a4karo]

Rozwiązać ten drugi


A w ogóle pozwoliłeś sobie na zbyt duży skrót myślowy. Pierwiastki czego?, Jak coś może nie należeć do dziedziny jak dziedziną sa wszystkie liczby rzeczywiste?

[Scrub]

Po wprowadzeniu zmiennej pomocniczej za \(\displaystyle{ \sin x}\)
\(\displaystyle{ 2t^2+5t+2>0}\)
Pierwiastki: \(\displaystyle{ \sin t = -2 \vee \sin t = -\frac{1}{2}}\) więc \(\displaystyle{ -2}\) nie należy.
Jak drugi?

[a4karo]

No to rozwiązuj. To elementarz

[Scrub]

Ok, zrozumiałem
Rozwiązać ten drugi nie problem:
\(\displaystyle{ x = - \frac{\pi}{6}+2k\pi \vee x = - \frac{5\pi}{6}+2k\pi}\)
Nie wiem jak to się ma do rozwiązania całego zadania.

[Jan Kraszewski]

Wybrałeś trochę złą drogę. Zacznij od rozwiązania nierówności \(\displaystyle{ 2t^2+5t+2>0}\). Na razie nie zrobiłeś tego. Dopiero potem będziesz robił podstawienie powrotne.

JK

[Scrub]

\(\displaystyle{ t \in \left( - \infty ; -2\right) \cup \left( - \frac{1}{2}; \infty \right)}\)
I teraz co?

[Jan Kraszewski]

Lepiej będzie, jak napiszesz \(\displaystyle{ t<-2\lor t>-\frac12}\). Teraz robisz podstawienie powrotne i dostajesz \(\displaystyle{ \sin x<-2\lor \sin x>-\frac12}\). Pozostaje rozwiązać...

JK