Udowodnić nierówność

[Malarz44]

Udowodnić nierówność:

\(\displaystyle{ 3\ln \left( \cos x \right) \ge \ln \left( \cos \left( \tg x \right) \right) +2\ln \left( \cos \left( \sin x \right) \right)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left( 0, \frac{ \pi }{4} \right)}\)

Proszę o pomoc

[Premislav]

Niech \(\displaystyle{ f(x)=\ln (\cos x)}\). Wówczas \(\displaystyle{ f''(x)=- \frac{1}{\cos^2 x}}\), skąd płynie wniosek, że \(\displaystyle{ f}\) jest wklęsłą np. w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0, \frac \pi 2\right)}\).
Zatem na mocy nierówności Jensena mamy:
\(\displaystyle{ f\left( \frac{\tg x+\sin x+\sin x}{3} \right) \ge \frac{f(\tg x)+f(\sin x)+f(\sin x)}{3}}\)
gdy \(\displaystyle{ x \in \left( 0, \frac \pi 4\right)}\), czyli po prostych przekształceniach
\(\displaystyle{ 3\ln \left(\cos\left( \frac{\tg x+2\sin x}{3} \right) \right) \ge \ln \left( \cos \left( \tg x \right) \right) +2\ln \left( \cos \left( \sin x \right) \right)}\)
Ponieważ logarytm naturalny jest funkcją ściśle rosnącą w swojej dziedzinie, zaś cosinus maleje w pierwszej ćwiartce, to złożenie tych syfów jest funkcją malejącą w interesującym nas przedziale, zatem wystarczy wykazać, że gdy \(\displaystyle{ x \in\left( 0, \frac \pi 4\right)}\), to
\(\displaystyle{ x \le \frac{\tg x+2\sin x}{3}}\)
W tym celu rozważmy funkcję pomocniczą \(\displaystyle{ g(x)=x-\frac 1 3\tg x-\frac 2 3 \sin x, x \in \left[ 0, \frac \pi 4\right]}\). Wówczas
\(\displaystyle{ g'(x)=1- \frac{1}{3\cos^2 x}-\frac 2 3 \cos x}\)
oraz na mocy nierówności między średnimi dostajemy, że
\(\displaystyle{ \frac{\cos x+\cos x+ \frac{1}{\cos^2 x}}{3} \ge 1}\), gdy cosinus jest dodatni (u nas jest),
a po przekształceniach:
\(\displaystyle{ 1- \frac{1}{3\cos^2 x}-\frac 2 3 \cos x \le 0}\)
W związku z tym \(\displaystyle{ g'(x) \le 0}\) dla \(\displaystyle{ x \in\left( 0, \frac \pi 4\right)}\), co w połączeniu z \(\displaystyle{ g(0)=0}\) daje nam upragnioną nierówność
\(\displaystyle{ x \le \frac{\tg x+2\sin x}{3}}\), c.k.d.

[Malarz44]

Dziękuję