Rozwiąż równanie:

[damianb543]

Równanie:
\(\displaystyle{ \sin 4x=\cos ^{4}x-\sin ^{4}x}\)
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \sin 4x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x \\
\sin 4x=\cos 2x \\
t=2x \\
\sin 2t-\cos t=0 \\
\sin 2t-\sin \left( \frac{ \pi }{2}-t \right) =0}\)
I tutaj chce skorzystać ze wzoru na sume dwóch funkcji czy to jest błędne rozumowanie czy nie?

[a4karo]

na razie ok

[damianb543]

na razie ok

z tego wyjdą 2 rozwiązania a w odpowiedziach są 3 mógłbyś to dokończyć?

[a4karo]

Nie. sam to zrób, a jakby co, to pomożemy

[damianb543]

\(\displaystyle{ 2\sin \left( x+ \frac{ \pi }{4} \right) \cos \left( \frac{3x}{2}- \frac{ \pi }{4} \right) =0}\)

Odpowiedzi:
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{12}+k \pi \\
x= \frac{5 \pi }{12}+k \pi \\
x= \frac{ \pi }{4}+ \frac{k \pi }{2}}\)

Z naszego równania żadnesz z powyższych nie wyjdzie.

[a4karo]

Mi wyszło \(\displaystyle{ \sin(3x-\pi/4)\cos(x+\pi/4)}\)

[damianb543]

Ok ale z tego i tak wyjdą inne rozwiązana a w dodatku 2 a nie 3.

2 się zgadzaja tylko ostatnie sie nie zgadza:\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}+ \frac{k \pi }{2}}\) a ja mam \(\displaystyle{ x=\frac{ \pi }{4}+k \pi}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ \sin(3x-\pi/4)\cos(x+\pi/4)=0}\)
daje z sinusa:
\(\displaystyle{ 3x-\frac{\pi}{4}=k\pi}\), czyli \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{3}}\)
a z cosinusa
\(\displaystyle{ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi}\), czyli \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+k\pi}\)

Na oko brak serii \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}}\), ale ona jest ukryta w sinusie (dla \(\displaystyle{ k=\dots,-1,2, 5,\dots}\))

-- 9 mar 2017, o 16:58 --

A trochę prościej robi sie to tak:
\(\displaystyle{ \sin 4x=\cos 2x \\
2\sin 2x\cos 2x=\cos 2x \\
\cos 2x(2\sin x-1)=0}\)
itd.