Tożsamość, równanie, wartość cosinusa

[damianb543]

1. Udowodnij, ze \(\displaystyle{ \sin 2x\cos x-\cos 2x\sin 3x=-\cos 4x\sin x}\).

2. Oblicz \(\displaystyle{ \cos (x+y)}\), jeśli \(\displaystyle{ \sin x\sin y= \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x-y= \frac{ \pi }{2}}\).

3. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin 4x=\cos ^{4}x-\sin ^{4} x}\).-- 8 mar 2017, o 23:23 --pomoże ktoś?

[sebnorth]

3.

oznaczmy \(\displaystyle{ c_x = \cos x, s_x = \sin x}\)

\(\displaystyle{ s_{4x} = c^4_{x} - s^4_x}\)

\(\displaystyle{ 2s_{2x}c_{2x} = (c^2_x - s^2_x)(c^2_x + s^2_x) = c^2_x - s^2_x = c_{2x}}\)

\(\displaystyle{ c_{2x}(2s_{2x} - 1) = 0}\)

\(\displaystyle{ c_{2x} = 0 \lor s_{2x} = \frac{1}{2}}\)

itd.

[Premislav]

2.
\(\displaystyle{ \sin x\sin y= \frac{1}{2}\\ 2\sin x \sin y=1\\ \cos(x-y)-\cos(x+y)=1}\),
wstawiasz \(\displaystyle{ x-y=\frac \pi 2,}\) przekształcasz i arrivederci.

[damianb543]

Ma ktoś pomysł na 1?

[Premislav]

1. Niespecjalnie sprytny pomysł. Najpierw po lewej sobie "wyprodukujemy" sinusa. W tym celu
odnotujmy, że
\(\displaystyle{ \sin 2x=2\sin x \cos x\\ \sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x}\)
A zatem dostajemy:
\(\displaystyle{ \sin 2x\cos x-\cos 2x\sin 3x=\sin x(2\cos^2 x+3\cos 2x-4\sin^2 x \cos 2x)}\)
Teraz odnotujmy, że
\(\displaystyle{ \cos^2 x= \frac{1+\cos 2x}{2} \\ \sin^2 x= \frac{1-\cos 2x}{2}}\)
Skorzystaj z tych zależności, by doprowadzić do pożądanego stanu zawartość nawiasu.

[damianb543]

2.
\(\displaystyle{ \sin x\sin y= \frac{1}{2}\\ 2\sin x \sin y=1\\ \cos(x-y)-\cos(x+y)=1}\),
wstawiasz \(\displaystyle{ x-y=\frac \pi 2,}\) przekształcasz i arrivederci.

Jest jakiś inny sposób na rozwiązanie tego bo cięzko na takie coś wpaść?

[Premislav]

Poćwicz "wpadanie", robiąc dużo różnorodnych zadanek. Ale jeśli Ci się nie podoba ten sposób, to trudno:
z zależności \(\displaystyle{ x-y=\frac \pi 2}\) wyliczasz \(\displaystyle{ x=y+\frac \pi 2}\), wstawiasz i powinno pójść ze wzoru na cosinus sumy:
\(\displaystyle{ \cos(x+y)=\cos\left( \frac \pi 2+2y\right) =\cos \frac \pi 2 \cos 2y-\sin \frac \pi 2 \sin y=-\sin y}\)
Ponadto wiemy, że:
\(\displaystyle{ \sin x \sin y=\frac 1 2\\ \sin\left( \frac \pi 2+y\right)\sin y=\frac 1 2\\(\sin \frac \pi 2 \cos y+\cos \frac \pi 2 \sin y)\sin y=\frac 1 2\\2\sin y\cos y=1\\\sin 2y=1\\2y=\frac \pi 2 +2k\pi, k \in \ZZ}\)
podstawiasz to i do widzenia.