Należy wykazać, iż dla każdego \(\displaystyle{ a}\) nienaturalnego istnieje rzeczywisty \(\displaystyle{ x}\) taki, że:
\(\displaystyle{ \left| \sin ax\right| > a\left| \sin x\right|}\).
Nierówność z sinusem.
-
- Administrator
- Posty: 34337
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Nierówność z sinusem.
Co ma wspólnego \(\displaystyle{ a}\) z \(\displaystyle{ c}\) ? Czyżby były równe...?pawlo392 pisze:Należy wykazać, iż dla każdego \(\displaystyle{ a}\) nienaturalnego istnieje rzeczywisty \(\displaystyle{ x}\) taki, że:
\(\displaystyle{ \left| \sin cx\right| > c\left| \sin x\right|}\).
JK
- pawlo392
- Użytkownik
- Posty: 1085
- Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło/Kraków
- Podziękował: 270 razy
- Pomógł: 34 razy
Nierówność z sinusem.
Przepraszam, pomyliłem się. Już poprawione.Jan Kraszewski pisze:Co ma wspólnego \(\displaystyle{ a}\) z \(\displaystyle{ c}\) ? Czyżby były równe...?pawlo392 pisze:Należy wykazać, iż dla każdego \(\displaystyle{ a}\) nienaturalnego istnieje rzeczywisty \(\displaystyle{ x}\) taki, że:
\(\displaystyle{ \left| \sin cx\right| > c\left| \sin x\right|}\).
JK
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Nierówność z sinusem.
Gdy \(\displaystyle{ x=k\pi, k \in \ZZ}\), to obie strony są równe (a to nie daje nam tego, czego sobie życzymy), więc usuwamy z rozważań taki przypadek. Zatem możemy zapisać równoważnie:
\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin ax}{\sin x} \right| >a}\)
Ponieważ np. \(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi}\sin x=0}\), a ponadto dla \(\displaystyle{ a \notin \ZZ}\) jest
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi}\sin ax \neq 0}\), zatem...
(dokończ z definicji granicy funkcji, wsk. ile to jest wówczas
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi} \left| \frac{\sin ax}{\sin x} \right|}\) ).
\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin ax}{\sin x} \right| >a}\)
Ponieważ np. \(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi}\sin x=0}\), a ponadto dla \(\displaystyle{ a \notin \ZZ}\) jest
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi}\sin ax \neq 0}\), zatem...
(dokończ z definicji granicy funkcji, wsk. ile to jest wówczas
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi} \left| \frac{\sin ax}{\sin x} \right|}\) ).
- pawlo392
- Użytkownik
- Posty: 1085
- Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło/Kraków
- Podziękował: 270 razy
- Pomógł: 34 razy
Nierówność z sinusem.
Granica tego wyrażenia jeśli się nie mylę to nieskończoność, ale na tę chwilę i tak chyba nie rozumiem jaki wniosek z tego wyciągnąć..
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Nierówność z sinusem.
Tak, zgadza się. Co to znaczy, że
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi} \left| \frac{\sin ax}{\sin x} \right|=\infty}\)? Tak z definicji?
Mnie się wydaje, że coś takiego:
dla dowolnego \(\displaystyle{ M \in \RR}\) istnieje takie \(\displaystyle{ \epsilon>0}\), że jeśli
\(\displaystyle{ |x-\pi|<\epsilon}\), to \(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi} \left| \frac{\sin ax}{\sin x} \right|>M}\)
Wystarczy z tego skorzystać.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi} \left| \frac{\sin ax}{\sin x} \right|=\infty}\)? Tak z definicji?
Mnie się wydaje, że coś takiego:
dla dowolnego \(\displaystyle{ M \in \RR}\) istnieje takie \(\displaystyle{ \epsilon>0}\), że jeśli
\(\displaystyle{ |x-\pi|<\epsilon}\), to \(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi} \left| \frac{\sin ax}{\sin x} \right|>M}\)
Wystarczy z tego skorzystać.