Dwie funkcje

[tomaszek2008]

W jaki sposób rozwiązywać podobne równości?
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{ \pi }{4} \right) = \sin \left( x \right)}\)

Można to zrobić w jakiś inny sposób niż metodą graficzną?
W odpowiedzi jest napisane: \(\displaystyle{ x = \frac{ \pi }{2} + \frac{4k \pi }{3}}\)

Nie bardzo rozumiem skąd wziął się wyraz \(\displaystyle{ \frac{4k \pi }{3}}\)

[mortan517]

\(\displaystyle{ \frac{x}{2} + \frac{ \pi }{4}=x+2k\pi}\)

[tomaszek2008]

tak próbowałem i wychodzi \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} + 4k \pi}\) co jest niezgodne z odpowiedzią

[Jan Kraszewski]

To pokaż, jak liczyłeś, a my pokażemy Ci, gdzie popełniasz błąd.

JK

[tomaszek2008]

\(\displaystyle{ \frac{x}{2}+ \frac{ \pi }{4} = x + 2k \pi /-x - \frac{ \pi }{4} \\
- \frac{x}{2}=2k \pi - \frac{ \pi }{4} / \cdot (-2) \\
x= \frac{ \pi }{2} - 4k \pi}\)

[a4karo]

Ale jest jeszcze jedna seria rozwiązań, bo \(\displaystyle{ \sin x=\sin (\pi-x)}\)

[Jan Kraszewski]

No i to jest OK, ale to nie są wszystkie rozwiązania.

\(\displaystyle{ \sin x=\sin y\iff x=y+2k\pi \lor x=\pi-y+2k\pi}\)

JK

[kerajs]

Dlatego warto znać wzorek:
\(\displaystyle{ \sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{ \alpha - \beta }{2}\cos \frac{ \alpha + \beta }{2}}\)

[tomaszek2008]

Już rozumiem, dziękuję. Mógłby mi ktoś jeszcze napisać w jaki sposób oblicza się okresowość funkcji np.
\(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2}}\)