Witam. Proszę o pomoc w uproszczeniu poniższego równania trygonometrycznego:
\(\displaystyle{ x = \frac{(\sin 81^{\circ}-\sin 27 ^{\circ})^{2}(\sin 81 ^{\circ} + \sin 27 ^{\circ})}{\sin 27^{\circ}\sin^{2}72^{\circ}}}\)
Jak te sinusy ze sobą "poskracać" bez używania kalkulatora?
Równanie trygonometryczne
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Równanie trygonometryczne
\(\displaystyle{ \sin \alpha\pm\sin \beta=2\sin \frac{\alpha\pm\beta}{2} \cos \frac{\alpha\mp \beta}{2}\\ \cos \alpha=\sin\left( 90-\alpha\right)\\ \sin(2\alpha)=2\sin \alpha \cos \alpha}\)
Kombinuj z tymi wzorkami. Za dużo tutaj pisania, więc podam tylko wynik, a Ty trochę pomyśl.
\(\displaystyle{ x=2\sin^2 36^{\circ}}\)
Zaś \(\displaystyle{ \sin 36^{\circ}}\) można wyliczyć.
Kombinuj z tymi wzorkami. Za dużo tutaj pisania, więc podam tylko wynik, a Ty trochę pomyśl.
\(\displaystyle{ x=2\sin^2 36^{\circ}}\)
Zaś \(\displaystyle{ \sin 36^{\circ}}\) można wyliczyć.
-
Marcoral
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 20 lis 2016, o 22:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 7 razy
Równanie trygonometryczne
Mnie wyszło trochę inaczej, ale chyba poprawnie - oto jak liczyłem:
\(\displaystyle{ \frac{(\sin 81^{\circ}-\sin 27^{\circ})^{2}(\sin 81^{\circ}+\sin 27^{\circ})}{\sin 27^{\circ}\sin ^ {2}72^{\circ}} = \frac{(2 \cos 54^{\circ} \sin 27^{\circ})^{2}(2\sin 54^{\circ}\cos 27 ^{\circ})}{\sin 27 ^{\circ}\sin ^{2}72^{\circ}} = \frac{8 \cos ^ {2}54^{\circ}\sin 54 ^{\circ}\sin 27^{\circ} \cos 27 ^{\circ}}{\sin ^{2}72^{\circ}} = \frac{8 \sin ^ {2} 36^{\circ}\sin 54^{\circ}\sin 27 ^{\circ} \cos 27 ^{\circ}}{4 \sin^{2}36^{\circ}\cos^{2}36^{\circ}} = \frac{2\cos 36 ^{\circ}\sin 27 ^{\circ}\cos 27 ^{\circ}}{\cos ^{2}36^{\circ}} = \frac{2\sin 27 ^{\circ}\cos 27 ^{\circ}}{\cos 36 ^{\circ}} = \frac{\sin 54^{\circ}}{\cos 36 ^{\circ}} = \frac{\cos 36^{\circ}}{\cos 36 ^{\circ}} = 1}\)
W każdym razie dzięki za pomoc
\(\displaystyle{ \frac{(\sin 81^{\circ}-\sin 27^{\circ})^{2}(\sin 81^{\circ}+\sin 27^{\circ})}{\sin 27^{\circ}\sin ^ {2}72^{\circ}} = \frac{(2 \cos 54^{\circ} \sin 27^{\circ})^{2}(2\sin 54^{\circ}\cos 27 ^{\circ})}{\sin 27 ^{\circ}\sin ^{2}72^{\circ}} = \frac{8 \cos ^ {2}54^{\circ}\sin 54 ^{\circ}\sin 27^{\circ} \cos 27 ^{\circ}}{\sin ^{2}72^{\circ}} = \frac{8 \sin ^ {2} 36^{\circ}\sin 54^{\circ}\sin 27 ^{\circ} \cos 27 ^{\circ}}{4 \sin^{2}36^{\circ}\cos^{2}36^{\circ}} = \frac{2\cos 36 ^{\circ}\sin 27 ^{\circ}\cos 27 ^{\circ}}{\cos ^{2}36^{\circ}} = \frac{2\sin 27 ^{\circ}\cos 27 ^{\circ}}{\cos 36 ^{\circ}} = \frac{\sin 54^{\circ}}{\cos 36 ^{\circ}} = \frac{\cos 36^{\circ}}{\cos 36 ^{\circ}} = 1}\)
W każdym razie dzięki za pomoc