funkcja z parametrem

[merykin]

Witam. Wychodzi mi inny wynik niż podany w odpowiedzi i proszę o sprawdzenie czy mój wynik jest dobry tylko przekształcony czy może robię gdzieś błąd.

Oblicz \(\displaystyle{ \cos x}\) jeśli \(\displaystyle{ \tg x + \sin x = m}\) oraz \(\displaystyle{ \tg x - \sin x = n}\).

Obliczam \(\displaystyle{ \tg x = \sin x +n}\) i podstawiam do pierwszego.

Otrzymuję \(\displaystyle{ \sin x = \frac {m-n} {2}}\) i z jedynki trygonometrycznej wychodzi mi \(\displaystyle{ \cos x = \frac {\sqrt {4 - (m-n)^2}} {2}}\).

W odpowiedzi jest wynik \(\displaystyle{ \cos x = \frac {m-n} {m+n}}\).

Czy popełniam gdzieś błąd?

[a4karo]

Oba wzory są OK przy pewnych założeniach: u Ciebie brak \(\displaystyle{ \pm}\) przed pierwiastkiem i analizy kiedy jaki znak zastosować.
W drugiej odpowiedzi (która bierze się z podzielenia obu równań przez siebie) brak analizy kiedy takie działanie jest uprawnione.

[PoweredDragon]

\(\displaystyle{ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}}\)
Masz więc:

Ukryta treść:    

I \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos x} + \sin x = m}\)
II \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = n}\)

Zakładamy, że \(\displaystyle{ 0 \neq \cos x \wedge \sin x \neq 0}\), bo wcześniej można na luzie zrobić te przypadki osobno
Dzielisz przez \(\displaystyle{ \sin}\) i mnożysz przez \(\displaystyle{ \cos}\)
\(\displaystyle{ 1 + \cos x = m \cdot \ctg x \\
1 - \cos x = n \cdot \ctg x \\
1-n \cdot \ctg x = m \cdot \ctg x -1 \\
(m+n) \cdot \ctg x = 2}\)

znowu mnożymy przez sin

\(\displaystyle{ (m+n) \cdot \cos x = 2 \cdot \sin x}\)

I teraz wracamy do wyjściowego: Odejmujemy II od I
\(\displaystyle{ 2 \cdot \sin x = m-n \\
(m+n) \cdot \cos x = m-n}\)
A z tego:
\(\displaystyle{ \cos x = \frac{m-n}{m+n}}\)

Lepiej się pobawić z wyjściowymi równaniami i przejściami równoważnymi, zamiast z jakimiś jedynkami. Twój wynik niekoniecznie jest zły (niekompletny jeśli już) i raczej jest odpowiedzią dopuszczalną; natomiast co do wyniku z książki, to jasno musi zostać powiedziane, że \(\displaystyle{ m+n \neq 0}\), a taka sytuacja może zajść (kiedy?). W spoilerze masz rozwiązanie, ale najpierw spróbuj samemu ;v