Równanie trygonometryczne z jedną niewiadomą

MrCommando · Post autor: **MrCommando** » 18 lut 2017, o 06:21

Proszę o pomoc z następującym równaniem:

\(\displaystyle{ \sin ^5 x + \cos ^5 x = \sin^4 x -2}\).

Nic kompletnie mi tu nie wychodzi, przeszkadzają wysokie potęgi po lewej stronie równania.

kerajs · Post autor: **kerajs** » 18 lut 2017, o 09:14

Sprawdziłbym jakie wartości może przyjąć lewa, a jakie prawa strona równania.

Ukryta treść:

MrCommando · Post autor: **MrCommando** » 18 lut 2017, o 15:15

Masz pomysł jak sprawdzić to bez badania przebiegu zmienności funkcji? Na początku też myślałem, żeby zbadać jakie wartości przyjmują obydwie strony (poprzez wyznaczenie ekstremów funkcji), ale odrzuciłem ten pomysł, bo prowadziłoby to do dosyć żmudnych rachunków, zatem uznałem, że chyba nie tędy droga.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 18 lut 2017, o 15:56

Jaką największą i najmniejszą wartość przyjmuje \(\displaystyle{ \sin^4x}\)?

MrCommando · Post autor: **MrCommando** » 18 lut 2017, o 19:11

Oczywiście \(\displaystyle{ 0 \leq \sin^4 x \leq 1}\). Dzięki temu można łatwo sprawdzić, jakie wartości przyjmuje prawa strona. Mamy \(\displaystyle{ -2 \leq \sin^4 x - 2 \leq -1}\). Tylko nie wiem zbytnio co zrobić z lewą stroną.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 18 lut 2017, o 19:45

Wsk. \(\displaystyle{ |\sin^5x|\leq \sin^2x}\)

MrCommando · Post autor: **MrCommando** » 18 lut 2017, o 21:10

Teraz to już wszystko jasne.
Skoro \(\displaystyle{ |\sin^5 x| \leq \sin^2 x}\), to analogicznie mamy \(\displaystyle{ |\cos^5 x| \leq \cos^2 x}\). Dodając obydwie nierówności stronami otrzymujemy \(\displaystyle{ |\sin^5 x| +|\cos^5 x| \leq \sin^2 x + \cos^2 x = 1}\). Z własności wartości bezwzględnej wynika także \(\displaystyle{ |\sin^5 x +\cos^5 x| \leq |\sin^5 x| +|\cos^5 x|}\), czyli mamy ostatecznie \(\displaystyle{ |\sin^5 x +\cos^5 x| \leq 1}\). Widać teraz, że lewa strona przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -1,1\right\rangle}\). Dziękuję za pomoc