Trygonometria do równania algebraicznego

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Trygonometria do równania algebraicznego

Post autor: WolfusA »

Następujące dwa zadania pochodzą z książki "Kółko matematyczne dla olimpijczyków" z działu "Trygonometria pomaga nie tylko geometrii" jednak one są nieopatrzone rozwiązaniem. Jak można wydedukować autor sugeruje do ich rozwiązania użyć trygonometrii. Może ktoś byłby chętny na zademonstrowanie? Rozwiąż w liczbach rzeczywistych równania:
Ukryta treść:    
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 17 lut 2017, o 18:57 przez Kaf, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Trygonometria do równania algebraicznego

Post autor: bartek118 »

Rozpatrzmy pierwsze równanie
\(\displaystyle{ \left| 2x - \sqrt{1-4x^2} \right| = \sqrt{2} \left( 8x^2-1 \right)}\)
Zauważ, że musi zachodzić \(\displaystyle{ 1-4x^2 \geq 0}\); stąd \(\displaystyle{ 1 \geq 4x^2}\); a więc \(\displaystyle{ 2x \in [-1,1]}\). Zatem istnieje \(\displaystyle{ \alpha}\) taka, że \(\displaystyle{ 2x = \sin \alpha}\). Dalej
\(\displaystyle{ \left| \sin \alpha - \sqrt{1-\sin^2 \alpha} \right| = \sqrt{2} \left( 2\sin^2 \alpha -1 \right)}\)
Teraz czas na wzory trygonometryczne.
Kaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 826
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 187 razy

Trygonometria do równania algebraicznego

Post autor: Kaf »

Ogólnie jeśli widzisz gdzieś \(\displaystyle{ \sqrt{\mbox{coś}_1-\mbox{coś}_2 \cdot \mbox{niewiadoma}^2}}\) to nie głupim pomysłem jest kombinowanie z podstawieniem trygonometrycznym. Ogólnie jeśli cokolwiek Ci przypomina wzór trygonometryczny to możesz próbować zrobić podstawienie by ten wzór zastosować (tylko trzeba pamiętać, żeby dziedzina była odpowiednia, bo o ile tangensy/cotangensy możemy podstawiać zawsze, to z sinusami i cosinusami jest mały Problemchen).
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Trygonometria do równania algebraicznego

Post autor: bosa_Nike »

W drugim możesz zwrócić uwagę na tożsamości wyrażające funkcje trygonometryczne przez tangens połowy kąta.
ODPOWIEDZ