Następujące dwa zadania pochodzą z książki "Kółko matematyczne dla olimpijczyków" z działu "Trygonometria pomaga nie tylko geometrii" jednak one są nieopatrzone rozwiązaniem. Jak można wydedukować autor sugeruje do ich rozwiązania użyć trygonometrii. Może ktoś byłby chętny na zademonstrowanie? Rozwiąż w liczbach rzeczywistych równania:
Rozpatrzmy pierwsze równanie \(\displaystyle{ \left| 2x - \sqrt{1-4x^2} \right| = \sqrt{2} \left( 8x^2-1 \right)}\)
Zauważ, że musi zachodzić \(\displaystyle{ 1-4x^2 \geq 0}\); stąd \(\displaystyle{ 1 \geq 4x^2}\); a więc \(\displaystyle{ 2x \in [-1,1]}\). Zatem istnieje \(\displaystyle{ \alpha}\) taka, że \(\displaystyle{ 2x = \sin \alpha}\). Dalej \(\displaystyle{ \left| \sin \alpha - \sqrt{1-\sin^2 \alpha} \right| = \sqrt{2} \left( 2\sin^2 \alpha -1 \right)}\)
Teraz czas na wzory trygonometryczne.
Ogólnie jeśli widzisz gdzieś \(\displaystyle{ \sqrt{\mbox{coś}_1-\mbox{coś}_2 \cdot \mbox{niewiadoma}^2}}\) to nie głupim pomysłem jest kombinowanie z podstawieniem trygonometrycznym. Ogólnie jeśli cokolwiek Ci przypomina wzór trygonometryczny to możesz próbować zrobić podstawienie by ten wzór zastosować (tylko trzeba pamiętać, żeby dziedzina była odpowiednia, bo o ile tangensy/cotangensy możemy podstawiać zawsze, to z sinusami i cosinusami jest mały Problemchen).