Nierówność trygonometryczna z sinx i cosx

[Ravennieu]

Rozwiązać nierówność trygonometryczną:

\(\displaystyle{ {\cos }^{2}x+\sin x-\cos x>0}\)

[Premislav]

Na pewno dobrze to przepisałeś?

[Ravennieu]

Tak

[Premislav]

No to jest to jakaś zupełna kaszana i kicha. Po podstawieniu \(\displaystyle{ t=\tg \frac x 2}\) i przekształceniach otrzymujemy nierówność
\(\displaystyle{ 2t(t^3+t^2-t+1)>0}\), której nie rozwiążemy raczej bez wzorów Cardana, a i powrót do iksów aksamitny nie będzie. Stąd myślałem, czy to w ogóle jest dobrze przepisane, jeśli tak, to ja nic lepszego nie wymyślę.

[PoweredDragon]

\(\displaystyle{ {\cos }^{2}x+\sin x-\cos x>0}\)

I. \(\displaystyle{ \sin x > 0}\)

\(\displaystyle{ {\cos } x \cdot {\ctg }x + 1 - \ctg x>0}\)
\(\displaystyle{ 1-\ctg x \left( 1-\cos x \right) > 0}\)

Ia.
\(\displaystyle{ \cos x < 0}\)
Spełniona w sposób oczywisty (\(\displaystyle{ 1 - \left( \text{l. ujemna} \right) > 0}\))

Ic.
\(\displaystyle{ \cos x = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin x > 0}\) -> Założenie I.

II. \(\displaystyle{ \sin x < 0}\)
\(\displaystyle{ 1-\ctg x \left( 1-\cos x \right) < 0}\)

IIa.
\(\displaystyle{ \cos x > 0}\)
Spełniona (\(\displaystyle{ 1- \left( l. ujemna \right) > 0}\))

IIc.
\(\displaystyle{ \cos x = 0}\)
Nie

III. \(\displaystyle{ \sin x = 0}\)
\(\displaystyle{ \cos x = \pm 1}\)

IIIa.
\(\displaystyle{ \cos x > 0}\)
Nie

\(\displaystyle{ \cos x < 0}\)
Tak

Przypadki Ib. i IIb., które pominąłem lepiejrozwiązać nieco inaczej:

\(\displaystyle{ \sin x > 0, \cos x > 0}\)
\(\displaystyle{ {\cos }^{2}x+\sin x-\cos x>0}\)
\(\displaystyle{ \sin x - \cos x \left( 1 - \cos x \right) > 0}\)
\(\displaystyle{ \sin x - \cos x \left( 2 \sin ^{2} \frac{x}{2} \right) > 0}\)
\(\displaystyle{ 1 - \cos x \left( 2 \sin ^2 \frac{x}{2} \right) > 0}\) -> Prawdziwe dla \(\displaystyle{ \sin ^2 \frac{x}{2} < \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin x < 0, \cos x < 0}\)
To już zostawię tobie; rozwiązanie 1 przypadku na całe zadanie :V

Masz wyznaczone proste nierówności, myślę, że rozwiązanie ich nie jest problemem; pamiętaj, aby potem robić odpowiednio sumy i iloczyny zbiorów rozwiązań l-l