Równanko trygonometryczne + logarytm.

[Zaratustra]

Witam, znowu nawrót do podstaw Chciałbym prosić o upewnienie czy przynajmniej częściowo obrałem dobrą drogę rozwiązania i rozwianie wątpliwości które opisuję na końcu.
Zadanie:
Dla jakich wartości \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) równanie
\(\displaystyle{ \log_{\frac{1}{2}} \left[ \left( 1 + \tg \frac{x}{2} \cdot \tg x \right) \cos x \right] = 0}\)
jest spełnione?

Przekształcam sobie logarytm:
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}\right)^0=1=\left( 1 + \tg \frac{x}{2} \cdot \tg x \right) \cos x}\)
Podstawiam sobie: \(\displaystyle{ t=\tg \frac{x}{2}}\), to
\(\displaystyle{ \tg x = \frac{2t}{1-t^2}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}}\).
I teraz - mam równanie wymierne: \(\displaystyle{ \left( 1 + t\left(\frac{2t}{1-t^2}\right)\right)\frac{1-t^2}{1+t^2}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1-t^2}{1+t^2} + \frac{(2t^2)(1-t^2)}{(1-t^2)(1+t^2)}=1}\) (skracam:)
\(\displaystyle{ \frac{1-t^2}{1+t^2} + \frac{(2t^2)}{(1+t^2)}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1-t^2+2t^2}{1+t^2}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1+t^2}{1+t^2}=1}\) już widać, że spełnione dla każdego \(\displaystyle{ t}\) ale rozpisałem na karteluszku w ten sposób to i tu przepiszę :
"Ponieważ \(\displaystyle{ 1+t^2 > 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\), to pomnożę obustronnie przez mianownik i mam:
\(\displaystyle{ 1+t^2=1+t^2 \Leftrightarrow t=t}\)
czyli \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ t = \tg \frac{x}{2}}\)."

Moja odpowiedź:
\(\displaystyle{ x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \pi + 2k\pi : k \in \mathbb{Z} \right\}}\)
bo musi być \(\displaystyle{ \frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\Leftrightarrow x \neq \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}}\).
Podręcznikowa odpowiedź:
\(\displaystyle{ x \in \mathbb{R} \setminus \left( \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \pi + 2k\pi : k \in \mathbb{Z} \right\} \right)}\)
Jedyny powód, jaki mi przyszedł do głowy, dlaczego musi być również \(\displaystyle{ x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi}\), to:
albo, że dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+k\pi}\) zachodziłoby \(\displaystyle{ \frac{x}{2} = \pi + 2k\pi}\) ale to jest sprzeczne(musiałoby być \(\displaystyle{ k=-\frac{1}{2}}\) czyli sprzeczność),
Aha; jeszcze na początku sprawdziłem dziedzinę(korzystając już z podstawienia):
\(\displaystyle{ \left( 1 + \tg \frac{x}{2} \cdot \tg x \right) \cos x > 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1-t^2}{1+t^2} + \frac{2t^2}{1+t^2} > 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1+t^2}{1+t^2}>0}\)
\(\displaystyle{ 1+t^2>0 \Rightarrow t^2>-1 \Rightarrow \tg^2 \frac{x}{2} > -1}\) - zawsze prawdziwe
Nie potrafię uzasadnić tej podręcznikowej odpowiedzi i pewnie wynika to z braku jakichś podstawowych umiejętności... Strasznie głupi się z tym czuję Pomocy!

[Premislav]

Argument logarytmu musi być dodatni. Czy nie pominąłeś rozwiązania nierówności
\(\displaystyle{ \tg \frac x 2 \tg x >-1}\)?-- 3 lut 2017, o 19:37 --Bo same przekształcenia prowadzące do rozwiązania są jak najbardziej OK, pozostają rozważania na temat dziedziny.