Równanie trygonometryczne (z logarytmem); może błąd w treści

[Zaratustra]

Witam, kolejne równanie trygonometryczne, które(niestety) sprawia mi problem
Zadanie: Rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ \log_{\sin 2x} \cos 2x + \log_{\cos 2x} \sin 2x = 2\log_{\sin 2x} \cos 2x + \log_{\cos 2x} \sin 2x = 2}\).
Korzystam z własności logarytmu żeby "upodobnić do siebie" wyrażenia(te "niewygodne"), a potem robię podstawienie, ażeby po ludzku wyglądało
\(\displaystyle{ \log_{\cos 2x} \sin 2x = \frac{1}{\log_{\sin 2x} \cos 2x}}\).
\(\displaystyle{ t = \log_{\cos 2x} \sin 2x}\).
I mam takie śmieszne równanie:
\(\displaystyle{ t+\frac{1}{t}=2t+\frac{1}{t}=2}\).
I po mojemu sprzeczny :< Przekształcam:
\(\displaystyle{ t+\frac{1}{t}-2=2t+\frac{1}{t}-2=0}\) Obustronnie mnożę, przez \(\displaystyle{ t}\).
\(\displaystyle{ t^2-2t+1=2t^2-2t+1=0}\)
I tutaj, "lewe" wyrażenie kwadratowe po przyrównaniu do zera ma rozwiązanie ale już na oko prawe jest sprzeczne i faktycznie delta jest ujemna...
Zatem mam:
\(\displaystyle{ \left( t - 1 \right)^2=2t^2-2t+1=0}\)

Co więcej, podejrzane jest, że gdy rozwiązać samo \(\displaystyle{ \left( t - 1 \right)^2=0}\) to wychodzi wynik zgodny z odpowiedzią do zestawu
\(\displaystyle{ \log_{\sin 2x} \cos 2x = 1}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x = \cos 2x}\).
Czyli \(\displaystyle{ 2x = -\frac{3}{4}\pi + k\pi, k \in \mathbb{Z}}\),
\(\displaystyle{ x = -\frac{3}{8}\pi + \frac{k}{2}\pi, k \in \mathbb{Z}}\) <- tak jest w książce.
Poza tym jest to zestaw z "równań" poprzedzający "układy równań" a przecież to właściwie jest układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} t^2-2t+1=0 \\ 2t^2-2t+1=0 \end{cases}}\)

Czy to w zestawie jest błąd czy to ja znowu robię z siebie głąba? xD Pomoże ktoś rozwiać tę wątpliwość?

[Premislav]

Ojej, ale po co w ogóle robić takie zadania? Matura już dawno jest za Tobą (chyba), a jeśli chcesz sobie poćwiczyć bardziej elementarne zadanka, to weź jakieś z OM albo z OMJ, a nie taką rąbankę.

Moim zdaniem Ty masz rację, a w zestawie jest błąd. Poza tym odpowiedź w książce i tak jest do niczego (nawet jeśli przyjąć, że jest tu jakiś błąd drukarski w treści), bo nie uwzględnia tego, że musi być \(\displaystyle{ \sin 2x>0}\) oraz \(\displaystyle{ \cos 2x>0}\) (no i w podstawie logarytmu nie może być \(\displaystyle{ 1}\)).

[a4karo]

\(\displaystyle{ \log_{\sin 2x} \cos 2x + \log_{\cos 2x} \sin 2x {\red =} 2\log_{\sin 2x} \cos 2x + \log_{\cos 2x} \sin 2x {\red =} 2}\)

Przede wszystkim to nie jest jedno równanie, tylko dwa. I wcale nie muszą mieć wspólnego rozwiązania

[Zaratustra]

Ojej, ale po co w ogóle robić takie zadania? Matura już dawno jest za Tobą (chyba), a jeśli chcesz sobie poćwiczyć bardziej elementarne zadanka, to weź jakieś z OM albo z OMJ, a nie taką rąbankę.

Za sobą mam(nawet studia rzucone za sobą mam i depresję i parę innych rzeczy), ale będę pisać jeszcze raz rozszerzenie, żeby podciągnąć wynik ;_;
Robię "takie" bo często moim problemem jest nieuwaga; drobne błędy w takich zadaniach gdzie jest dużo przekształcania, liczenia, etc. To miała być tylko rozgrzewka a wychodzi jak wychodzi
OMJ jest fajny. Ogólnie coś tam jestem w stanie zrobić. Najgorzej z planimetrią(głównie nad tym pracuję w związku z tym "podnoszeniem wyniku" ).
OM mnie onieśmiela :-/ Może bezpodstawnie, bo tylko jakieś pojedyncze zadania widziałem i ich rozwiązania, ale wyglądały tak trochę... "uch!".

Poza tym odpowiedź w książce i tak jest do niczego (nawet jeśli przyjąć, że jest tu jakiś błąd drukarski w treści), bo nie uwzględnia tego, że musi być \(\displaystyle{ \sin 2x>0}\) oraz \(\displaystyle{ \cos 2x>0}\) (no i w podstawie logarytmu nie może być \(\displaystyle{ 1}\)).

Yep. To zauważyłem. Te kilka kroków z rozwiązaniem \(\displaystyle{ \left( t - 1 \right)^2=0}\) zrobiłem już po tym jak się poddałem, żeby sprawdzić skąd to "rozwiązanie" w książce wytrzasnęli i już się nie kłopotałem dziedziną, sądząc że coś tu i tak jest nie tak

\(\displaystyle{ \log_{\sin 2x} \cos 2x + \log_{\cos 2x} \sin 2x {\red =} 2\log_{\sin 2x} \cos 2x + \log_{\cos 2x} \sin 2x {\red =} 2}\)

Przede wszystkim to nie jest jedno równanie, tylko dwa. I wcale nie muszą mieć wspólnego rozwiązania

Yep. To również wyraziłem w moim poście :< Tylko nie byłem pewny czy to w zdaniu "rozwiąż równanie" nie tkwi w książce błąd a chodzi o rozw. układu równań. Ale wychodzi, że zadanie do niczego


W każdym razie dziękuję za rozwianie wątpliwości.