Równanie - nieskończony ciąg geometryczny

[whoman]

Muszę znaleźć rozwiązanie takiego równania w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle0; 2\pi\right\rangle}\):
\(\displaystyle{ 1 - \tg x + \tg ^{2}x - \tg ^{3}x + ... = \frac{ \sqrt{2}\cos \left( 2x\right) }{2\sin \left( x + \frac{ \pi }{4} \right) }}\)
Od razu na myśl przychodzi mi zwinięcie lewej strony do wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego, ale tam \(\displaystyle{ \left| q\right| < 1}\), a tangens w podanym przedziale przyjmuje nie tylko takie wartości. Jak sobie z tym w takim razie poradzić?

[janusz47]

Kiedy

\(\displaystyle{ q = |\tg(x)|< 1,}\) czyli \(\displaystyle{ -1 < \tg(x) < 1?}\)

[bartek118]

Skoro mamy tylko znaleźć jakieś rozwiązanie, to można spróbować znaleźć takie, aby \(\displaystyle{ | \tg x | < 1}\)

[whoman]

Czyli na początku piszę założenie, że \(\displaystyle{ x}\) należy do takiego i takiego przedziału i mogę rozwiązywać dalej normalnie według wzoru na sumę nie przejmując się pozostałymi \(\displaystyle{ x}\)?

[janusz47]

A potem sprawdzić, czy dla znalezionego rozwiązania prawdziwa jest ta nierówność.

[whoman]

A ma ktoś pomysł jak rozwiązać tę nierówność, tj. \(\displaystyle{ \frac{1}{1 + \tg x} = \frac{ \sqrt{2}\cos \left( 2x \right) }{2\sin \left( x+ \frac{ \pi }{4} \right) }}\)? Próbowałem różnych wzorów i ani razu nie doszedłem do konkretnego rozwiązania.