Skomplikowana tożsamość trygonometryczna

[Marcoral]

Witam. Mam policzyć dla jakich wartości x poniższe równanie będzie spełnione:
\(\displaystyle{ 8\cos(x) \cdot (\cos ^{4}(2x)-\sin ^{4}(2x)) = \frac{1+\tg ^{2}(x) }{1-\tg ^{2} (x)}}\)

Zauważyłem, że \(\displaystyle{ \frac{1+\tg ^{2}(x) }{1-\tg ^{2} (x)} = \frac{1}{\cos(2x)}}\)

jak również
\(\displaystyle{ \cos ^{4}(2x)-\sin ^{4}(2x) = 1-2\sin ^{2}(2x)}\)

Tak więc udało mi się wypracować coś takiego:
\(\displaystyle{ 8\cos(x)\cos(2x) \cdot (1-2\sin ^{2} (2x)) = 1}\)

Lecz nie bardzo wiem co z tym dalej zrobić. Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc

[kerajs]

Czyli nie jest to tożsamość, a równanie.
Wpierw jego dziedzina:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \neq \frac{ \pi }{2} +k \pi \\ 1-\tan^2x \neq 0 \end{cases} \\
\begin{cases} x \neq \frac{ \pi }{2} +k \pi \\ \cos 2x \neq 0 \end{cases}\\
x \neq \frac{ \pi }{4} +k \frac{ \pi }{2}}\)

Twój prawidłowy wynik można zapisać tak:
\(\displaystyle{ 8 \cos x \cos 2x \cos 4x=1}\)
Chciałbym pomnożyć równanie przez \(\displaystyle{ \sin x}\), ale wpierw sprawdzę czy \(\displaystyle{ x=k \pi}\) jest rozwiązaniem Twojego równania.
\(\displaystyle{ 8 \cos k \pi \cos 2k \pi \cos 4k \pi=8 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1=8 \neq 1}\)
Tak nie jest, więc mnożę:
\(\displaystyle{ 8 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x=\sin x \ \ \ \wedge x \neq k \pi}\)
\(\displaystyle{ \sin 8x=\sin x\\
\sin 8x-\sin x=0 \\
2\sin \frac{8x \red + \black x}{2}\cos \frac{8x \red - \black x}{2}=0}\)
A wyznaczyć z tego \(\displaystyle{ x}\) i porównać rozwiązanie z wszystkimi założeniami pewnie potrafisz.

Edit:
Oczywiście ostatnie równanie ma zmienione znaki. Powinno być:
\(\displaystyle{ \sin 8x-\sin x=0 \\
2\sin \frac{8x - x}{2}\cos \frac{8x + x}{2}=0}\)
Sorry.
PS.
Dość częstym błędem w takich przykładach jest zapominanie o odrzuceniu miejsc zerowych które wprowadził czynnik przez który obustronnie pomnożyło się równanie (tu miejsc zerowych czynnika \(\displaystyle{ \sin x}\)).

[Marcoral]

Dziękuję za odpowiedź. Gdybym zauważył zamianę tego nawiasu na cosinus 4x już dałbym radę. Gapa ze mnie
Jeszcze dla upewnienia spytam - czy nie pomyliłeś się czasem we wzorze na różnicę sinusów na końcu? Wydaje mi się, że kąty powinniśmy dodać przy cosinusie, a odjąć przy sinusie