Dla jakich x prawdziwa równość

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
pkrd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 20 sty 2016, o 21:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Malopolska
Podziękował: 2 razy

Dla jakich x prawdziwa równość

Post autor: pkrd »

\(\displaystyle{ 2\arctan x + \arcsin \frac{2x}{1+x^2} = \pi}\)

Odpowiedź to podobno \(\displaystyle{ x \in \langle 1,+\infty )}\) dlaczego? Mi po podstawieniach \(\displaystyle{ x = \tg a}\) wychodzi \(\displaystyle{ x = 1}\)
Ostatnio zmieniony 25 sty 2017, o 21:46 przez AiDi, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Dla jakich x prawdziwa równość

Post autor: musialmi »

Dobrze ci wyszło, źle napisali.
pkrd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 20 sty 2016, o 21:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Malopolska
Podziękował: 2 razy

Dla jakich x prawdziwa równość

Post autor: pkrd »

musialmi,

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2arctan%28x%29+%2B+arcsin%28%282x%29+%2F+%281+%2B+x%C2%B2%29%29+%3D+%CF%80+where+x+%3D+1000
na pewno?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Dla jakich x prawdziwa równość

Post autor: Premislav »

Mamy tutaj do czynienia z pewną subtelnością. Podstawmy \(\displaystyle{ x =\tg y, y \in \left( -\frac \pi 2; \frac \pi 2\right)}\)
- wybrałem taki przedział, żeby zachodziło \(\displaystyle{ \arctan(\tg y)=y}\). Równanie przyjmuje formę:
\(\displaystyle{ 2y+\arcsin\left( \frac{2\tg y}{1+\tg^2 y} \right)=\pi}\), a dalej:
\(\displaystyle{ 2y+\arcsin(\sin 2y)=\pi}\)
Mamy, że \(\displaystyle{ 2y \in (-\pi; \pi)}\), tymczasem zbiór wartości arcusa sinusa to jest
\(\displaystyle{ \left[ -\frac \pi 2; \frac \pi 2\right]}\). Zatem nie możemy sobie po prostu napisać
\(\displaystyle{ \arcsin(\sin 2y)=2y}\)
Dla \(\displaystyle{ y \in \left[ -\frac \pi 4; \frac \pi 4\right]}\) możemy tak jednak zrobić i wówczas dostajemy \(\displaystyle{ 4y=\pi}\), więc \(\displaystyle{ y=\frac \pi 4}\), stąd jedynym rozwiązaniem w przedziale
\(\displaystyle{ \left[ -1,1\right]}\) jest \(\displaystyle{ x=1}\). Co robimy dla kątów o module większym niż \(\displaystyle{ \frac \pi 4}\)? To proste:
- dla \(\displaystyle{ y \in \left( -\frac \pi 2, -\frac \pi 4\right)}\)
korzystamy z tożsamości \(\displaystyle{ \sin(\pi+\alpha)=-\sin \alpha}\), bo łatwo widać, że \(\displaystyle{ \pi+2y}\) należy do przedziału \(\displaystyle{ \left[ -\frac \pi 2;\frac \pi 2\right]}\). Dodatkowo wykorzystujemy nieparzystość arcusa sinusa:
\(\displaystyle{ \arcsin(\sin 2y)=-\arcsin(-\sin(2y))=-\arcsin\left( \sin(\pi+2y)\right)=-\pi-2y}\).
Stąd w przedziale \(\displaystyle{ \left( -\frac \pi 2;\frac \pi 2\right)}\) nasze równanie można przekształcić do \(\displaystyle{ -\pi=\pi}\), co jest oczywistą sprzecznością.
- dla \(\displaystyle{ y \in \left( \frac \pi 4, \frac \pi 2\right)}\) korzystamy z tego, że
\(\displaystyle{ \sin \alpha=\sin(\pi-\alpha)}\) i widzimy, że już \(\displaystyle{ \pi-2y}\) należy do przedziału
\(\displaystyle{ \left[ -\frac \pi 2; \frac \pi 2\right]}\), tj.
\(\displaystyle{ \arcsin(\sin 2y)=\arcsin(\sin(\pi-2y))=\pi-2y}\), więc dla
\(\displaystyle{ y \in \left( \frac \pi 2; \frac \pi 4\right)}\), czyli dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\) dostajemy tożsamość \(\displaystyle{ \pi=\pi}\)
ODPOWIEDZ