Naprowadzenie na rozwiązanie bez pierwiastków

[skjeleton]

Cześć, mógłby ktoś naprowadzić mnie na rozwiązanie nierówności tego typu:

\(\displaystyle{ \sin 2x - a\sin^{2}x > b}\)

Gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są stałymi.

Czy podstawienie \(\displaystyle{ \sqrt{1 - \sin^{2}x}}\) za \(\displaystyle{ \cos x}\) jest poprawne?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \sin 2x - a\sin^{2}x > b}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x - a \frac{1- \cos 2x }{2}> b}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x + \frac{a}{2} \cos 2x > b+ \frac{a}{2}}\)
Przeczytaj: viewtopic.php?t=416078
\(\displaystyle{ \sqrt{1+ \frac{a^2}{4} } \left( \frac{1}{ \sqrt{1+ \frac{a^2}{4}}} \sin 2x + \frac{a}{2 \sqrt{1+ \frac{a^2}{4}}} \cos 2x \right) > b+ \frac{a}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\left( x+ \alpha \right) > \frac{b+ \frac{a}{2}}{\sqrt{1+ \frac{a^2}{4} }}}\)

Czy podstawienie \(\displaystyle{ \sqrt{1 - \sin^{2}x}}\) za \(\displaystyle{ \cos x}\) jest poprawne?

Tylko dla kątów z I oraz IV ćwiartki.

[skjeleton]

Już miałem się pytać, skąd wziął się

\(\displaystyle{ \sin\left(x+\alpha\right)}\)

Ale dodałeś adnotację
Wielkie dzięki, kerajs!

[a4karo]

Czy nie \(\displaystyle{ \sin\left(2 x+ \alpha \right) > \frac{b+ \frac{a}{2}}{\sqrt{1+ \frac{a^2}{4} }}}\) ?

[kerajs]

Sorki, faktycznie zgubiłem dwójkę:

\(\displaystyle{ ...\\
\sqrt{1+ \frac{a^2}{4} } \left( \frac{1}{ \sqrt{1+ \frac{a^2}{4}}} \sin 2x + \frac{a}{2 \sqrt{1+ \frac{a^2}{4}}} \cos 2x \right) > b+ \frac{a}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\left( 2x+ \alpha \right) > \frac{b+ \frac{a}{2}}{\sqrt{1+ \frac{a^2}{4} }}}\)

Teraz widzę, że mogłem zrobić podobnie ale ciut zgrabniej:

\(\displaystyle{ ...\\
\sin 2x + \frac{a}{2} \cos 2x > b+ \frac{a}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin 2x + a \cos 2x > 2b+ a}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{4+a^2 } \left( \frac{2}{ \sqrt{4+a^2}} \sin 2x + \frac{a}{ \sqrt{4+a^2}} \cos 2x \right) > 2b+a}\)
\(\displaystyle{ \sin\left( 2x+ \alpha \right) > \frac{2b+ a}{\sqrt{4+a^2}}}\)


PS
Miało być rozwiązanie bez pierwiastków, a tu aż zatrzęsienie tychże. Nic to, ważne że da się policzyć.