Znajdź przedziały monotoniczności

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Akiro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 19 lis 2016, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 14 razy

Znajdź przedziały monotoniczności

Post autor: Akiro »

\(\displaystyle{ f(x)=\sin x+\cos x}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le 2 \pi}\)
Ostatnio zmieniony 10 sty 2017, o 00:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Znajdź przedziały monotoniczności

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ f(x)=\sin x+\cos x= \sqrt{2}\sin (x+ \frac{ \pi }{4} )}\)


Poradzisz sobie dalej?
Akiro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 19 lis 2016, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 14 razy

Znajdź przedziały monotoniczności

Post autor: Akiro »

kerajs pisze:\(\displaystyle{ f(x)=\sin x+\cos x= \sqrt{2}\sin (x+ \frac{ \pi }{4} )}\)


Poradzisz sobie dalej?
Chyba tak, a skąd to się wzięło?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Znajdź przedziały monotoniczności

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ \sin x+\cos x= \sqrt{2} \left( \frac{1}{ \sqrt{2} } \sin x+ \frac{1}{ \sqrt{2} }\cos x\right)= \sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{ \pi }{4} +\cos x \sin \frac{ \pi }{4}\right) =\\=\sqrt{2} \sin (x + \frac{ \pi }{4})}\)

Ogólnie:
sprowadzenie do sinusa:
\(\displaystyle{ A\sin \alpha +B\cos \alpha = \sqrt{A^2+B^2}\left( \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin \alpha +\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos \alpha} \right) =\\=\sqrt{A^2+B^2}\sin ( \alpha + \beta)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \cos \beta = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} \wedge \sin \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}}\)

sprowadzenie do kosinusa:
\(\displaystyle{ A\sin \alpha +B\cos \alpha = \sqrt{A^2+B^2}\left( \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin \alpha +\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos \alpha} \right) =\\=\sqrt{A^2+B^2}\cos ( \alpha - \beta)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \sin \beta = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} \wedge \cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}}\)
ODPOWIEDZ