Iloczyn z cosinusem

[drempi]

Witam. Odkryłem (choć pewnie już ktoś inny to zrobił - no ale napiszę) taki wzór związany z cosinusem:

\(\displaystyle{ \prod_{n = 1}^{s} {\left(1 + \cos \left(\frac{2 \pi n}{2s + 1} \right) \right)} = \frac{1}{2^s}}\)

Znany jest już ten wzór?

[a4karo]

Ciężko uwierzyć,, żeby taki wzór zachodził. Najwyraźniej nawiasów zabrakło.

[drempi]

Nawiasy już dodałem. Swoją drogą, mam pewien zamysł odnośnie dowodu tego wzoru, ale to dopiero zamysł.

[dec1]

Rozważmy wielomian \(\displaystyle{ p(x)=x^{2s+1}+1=\prod_{n=0}^{2s}\left( x+e^{\frac{2\pi in}{2s+1}} \right)=(x+1)\prod_{n=1}^s \left( \left( x+e^{\frac{2\pi in}{2s+1}}\right)\left( x+e^{-\frac{2\pi in}{2s+1}}\right)\right)}\)

Obliczając \(\displaystyle{ p(x)}\) dla \(\displaystyle{ x=1}\) i dzieląc przez dwa otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 1=\prod_{n=1}^s\left( \left( e^{\frac{2\pi in}{2s+1}}+1\right)\left(e^{-\frac{2\pi in}{2s+1}}+1\right) \right)=\prod_{n=1}^s\left( e^{\frac{\pi in}{2s+1}}+e^{-\frac{\pi in}{2s+1}}\right)^2}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ 2\cos x=e^{ix}+e^{-ix}}}\), mamy:

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^s \left( 2\cos\left( \frac{n\pi}{2s+1}\right)\right) ^2= 1}\)

lub równoważnie

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^s 2\cos^2\left( \frac{n\pi}{2s+1}\right)=\frac{1}{2^{s}}}\)

Korzystając z tożsamości \(\displaystyle{ \cos 2x + 1 = 2\cos ^2 x}\) mamy zatem

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^s \left( \cos\left(\frac{2\pi n}{2s+1} \right) + 1\right) = \frac{1}{2^s}}\)

QED

[drempi]

Wychodzi na to, że mój zamysł opierał się na dosyć podobnych krokach, ale zawierał też dowodzenie równania:

\(\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{2s} {\left( 1 + e^{\frac{2 \pi i n}{2s + 1}} \right)} = 2}\)

które najwidoczniej jest już znane i udowodnione. No to mam satysfakcję z odkrycia takiego fajnego wzorku

[Premislav]

Wow. Piękne.
A czy można wiedzieć, jak wymyślasz takie rzeczy?
[choć może to głupie pytanie - ciekawość jest jednak silniejsza]

[drempi]

Ten wzór wyszedł mi z przekształceń nieco innego wzoru:

\(\displaystyle{ \prod_{n = 0}^{s - 1}{\left(1 + e^{\frac{2 \pi i n}{s}} \right)}}\)

Chciałem go zbadać pod pewnym względem (w moim drugim poście na tej stronie w ogóle napisałem o pewnej funkcji \(\displaystyle{ k}\)) i choć dla parzystego \(\displaystyle{ s}\) wynik był oczywisty i wynosił 0, o tyle dla nieparzystego s wzór ten zwracał zawsze dokładnie 2. No więc trochę go poprzekształcałem i właśnie ten wzór z cosinusem mi wyszedł. Niespodziewany i piękny wzór z cosinusem.