Równanie trygonometryczne w wolnej chwili...

[Zaratustra]

Witam, tym razem jakoś wybitnie żenująco - wziąłem sobie z jakiegoś zbiorku równanie trygonometryczne. Na oko poszło gładko ale odpowiedź ze zbioru jest różna od mojej, więc musiałem coś zrobić źle, ale nie potrafię dostrzec gdzie :<

Wyznaczyć zbiór rozwiązań równania
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos 2x} + \frac{\cos 2x}{\sin x} +2 = 0}\).
Przekształcam sobie tak: \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos 2x} + \left( \frac{\sin x}{\cos 2x} \right)^{-1} +2 = 0}\).
Podstawiam \(\displaystyle{ t=\frac{\sin x}{\cos 2x}}\), to mamy \(\displaystyle{ t + \frac{1}{t}+2=0}\).
\(\displaystyle{ t^2+2t+1=0 \Leftrightarrow (t+1)^2=0 \Leftrightarrow -1}\).
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos 2x}= t=-1}\)
\(\displaystyle{ \sin x =- \cos 2x}\)
\(\displaystyle{ \sin x =-(1 - 2\sin^2 x)}\) (sinus podwojonego kąta)
\(\displaystyle{ \sin x = -1 +\sin^2 x}\)
Jeszcze raz podstawiam: \(\displaystyle{ \sin x = m, m \in \lbrack -1, 1 \rbrack}\), to mamy równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ m-2m^2+1=0 \Leftrightarrow (m-1)^2=0 \Leftrightarrow m = 1}\)
\(\displaystyle{ \sin x = 1}\)
I tu już nie widzę innej opcji niż: \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \ZZ}\).
A widocznie przegapiłem dwa rozwiązania. Z książki:
\(\displaystyle{ x \in \left\{ \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \ZZ \right\} \cup \left\{ -\frac{5}{6}\pi+2k\pi, k \in \ZZ \right\} \cup \left\{ -\frac{1}{6}\pi+2k\pi, k \in \ZZ \right\}}\)
Więc błąd musi być gdzieś przed podstawieniem \(\displaystyle{ m}\)... :-/

[cosinus90]

\(\displaystyle{ m-2m^2+1=0 \Leftrightarrow (m-1)^2=0 \Leftrightarrow m = 1}\)

Na pewno tak to można zwinąć?

[Zaratustra]

Oczywiście, że nie można Towarzyszu! :<
A ja aż dwa razy pod rząd tak zrobiłem :<
Dziękuję, rozwiązane - wyszło ładnie, będę mógł zasnąć spokojnie